Potenssien laskusäännöt
Potensseille pätevät seuraavat laskusäännöt:
Samankantaisten potenssien osamäärä [[$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad a\ne 0$$]]
Tulon potenssi [[$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$]]
Osamäärän potenssi [[$$ \left( \dfrac{a}{b} \right) ^n=\dfrac{a^n}{b^n}, \qquad b\ne 0$$]]
Potenssin potenssi [[$$\qquad \qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$]]
Pohditaan esimerkkien avulla hieman mistä edelliset laskusäännöt muodostuvat. Mikäli laskusäännöt halutaan todistaa, täytyy esimerkkien sijasta käyttää kirjaimia myös eksponentteina.
Samankantaisten potenssien tulo
[[$$ a^9 \cdot a^3=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{\text{9 kpl}} \cdot\underbrace{a\cdot a\cdot a}_{\text{3 kpl}}=a^{9+3}=a^{12}$$]]
Samankantaisten potenssien osamäärä
[[$$ \frac{a^9}{a^3}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} {a\cdot a\cdot a}=a^{9-3}=a^6$$]]
Tulon potenssi
[[$$(ab)^4=ab\cdot ab\cdot ab\cdot ab=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=a^{4} b^{4}$$]]
Osamäärän potenssi
[[$$ \left(\frac{a}{b}\right)^4=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a \cdot a\cdot a\cdot a}{b \cdot b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{4}}{b^{4}}$$]]
Potenssin potenssi
[[$$(a^2)^4=\underbrace{a^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot a^2}_{4\text{ kpl}}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{2\cdot 4=8\text{ kpl}}=a^8$$]]
Potenssien laskusääntöjä
Samankantaisten potenssien tulo [[$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$]]Samankantaisten potenssien osamäärä [[$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad a\ne 0$$]]
Tulon potenssi [[$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$]]
Osamäärän potenssi [[$$ \left( \dfrac{a}{b} \right) ^n=\dfrac{a^n}{b^n}, \qquad b\ne 0$$]]
Potenssin potenssi [[$$\qquad \qquad (a^m)^n=a^{m\cdot n}$$]]
Pohditaan esimerkkien avulla hieman mistä edelliset laskusäännöt muodostuvat. Mikäli laskusäännöt halutaan todistaa, täytyy esimerkkien sijasta käyttää kirjaimia myös eksponentteina.
Samankantaisten potenssien tulo
[[$$ a^9 \cdot a^3=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{\text{9 kpl}} \cdot\underbrace{a\cdot a\cdot a}_{\text{3 kpl}}=a^{9+3}=a^{12}$$]]
Samankantaisten potenssien osamäärä
[[$$ \frac{a^9}{a^3}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a} {a\cdot a\cdot a}=a^{9-3}=a^6$$]]
Tulon potenssi
[[$$(ab)^4=ab\cdot ab\cdot ab\cdot ab=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=a^{4} b^{4}$$]]
Osamäärän potenssi
[[$$ \left(\frac{a}{b}\right)^4=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a \cdot a\cdot a\cdot a}{b \cdot b\cdot b\cdot b}=\frac{a^{4}}{b^{4}}$$]]
Potenssin potenssi
[[$$(a^2)^4=\underbrace{a^2\cdot a^2\cdot a^2\cdot a^2}_{4\text{ kpl}}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}_{2\cdot 4=8\text{ kpl}}=a^8$$]]