4.3 Potenssiyhtälö
Tutki & Kokeile teknologian avulla
Ratkaise seuraavat yhtälöt oheisen havainnollistamisen avulla.
a) [[$x^2=4\qquad$]] b) [[$x^2=-2\qquad$]] c) [[$x^3=8\qquad$]] d) [[$x^5=0$]]
a) [[$x^2=4\qquad$]] b) [[$x^2=-2\qquad$]] c) [[$x^3=8\qquad$]] d) [[$x^5=0$]]
Kuinka monta ratkaisua yhtälöllä [[$x^n=a $]] on?
Potenssiyhtälön ratkaiseminen
Potenssiyhtälö on muotoa [[$x^n=a$]] oleva yhtälö, jossa [[$n$]] on positiivinen kokonaisluku. Eksponentin [[$n$]] arvoa kutsutaan potenssiyhtälön asteeksi. Potenssiyhtälö ratkaistaan juuren avulla.
Mikäli [[$n$]] on parillinen ja [[$a<0$]], potenssiyhtälöllä ei ole ratkaisuja, sillä minkään reaaliluvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen.
Potenssiyhtälön ratkaisu
Yhtälön [[$x^n=a, \quad n=1, 2, 3, \dots$]]
ratkaisu on
[[$x=\sqrt[n]{a},\quad \text{jos }n \text{ on pariton}\\x=\pm \sqrt[n]{a},\quad \text{jos }n \text{ on parillinen ja }a\ge 0.$]]
Mikäli [[$n$]] on parillinen ja [[$a<0$]], potenssiyhtälöllä ei ole ratkaisuja, sillä minkään reaaliluvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen.
Esimerkki 1
Ratkaise yhtälöt.
a) [[$x^2=4 \quad $]] b) [[$x^{15}=165 \quad $]] c) [[$x^{10}=-10 \quad $]] d) [[$x^9=-10 \quad $]] e) [[$x^5=0$]]
Ratkaisu:
a) [[$x^2=4 \quad $]] Kyseessä parillinen potenssi.
[[$x=-\sqrt{4}$]] tai [[$x=\sqrt{4}$]]
[[$x=-2$]] tai [[$x=2$]]
b) [[$x^{15}=165 \quad $]] Kyseessä pariton potenssi.
[[$x=\sqrt[15]{165} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x\approx \text{1,4}$]]
c) [[$x^{10}=-10$]]
Kaikkien reaalilukujen parillinen potenssi on ei-negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
d) [[$x^9=-10 \quad $]] Kyseessä pariton potenssi.
[[$x=\sqrt[9]{-10} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x\approx -\text{1,3}$]]
e) [[$x^5=0 \quad $]] Ratkaisu voidaan päätellä suoraan tai laskea kuten pariton potenssiyhtälö yleisesti.
[[$x=\sqrt[5]{0} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x=0$]]
a) [[$x^2=4 \quad $]] b) [[$x^{15}=165 \quad $]] c) [[$x^{10}=-10 \quad $]] d) [[$x^9=-10 \quad $]] e) [[$x^5=0$]]
Ratkaisu:
a) [[$x^2=4 \quad $]] Kyseessä parillinen potenssi.
[[$x=-\sqrt{4}$]] tai [[$x=\sqrt{4}$]]
[[$x=-2$]] tai [[$x=2$]]
b) [[$x^{15}=165 \quad $]] Kyseessä pariton potenssi.
[[$x=\sqrt[15]{165} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x\approx \text{1,4}$]]
c) [[$x^{10}=-10$]]
Kaikkien reaalilukujen parillinen potenssi on ei-negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
d) [[$x^9=-10 \quad $]] Kyseessä pariton potenssi.
[[$x=\sqrt[9]{-10} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x\approx -\text{1,3}$]]
e) [[$x^5=0 \quad $]] Ratkaisu voidaan päätellä suoraan tai laskea kuten pariton potenssiyhtälö yleisesti.
[[$x=\sqrt[5]{0} \quad $]] Likiarvo laskimella
[[$x=0$]]
