6. Vektorilaskennan perusteet

Vektorin komponenttiesitys

Vektoria on helppo tulkita koordinaatistossa. Mietitään montako pituusyksikköä liikutaan x-akselin ja y-akselin suunnassa. Vektorille voidaan määritellä komponenttiesitys tämän perusteella.
 
Vektorin\ \overline{a}\ komponenttiesitys\ on\ \overline{a}=\left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right]
Jos\ \overline{a}=\left[\begin{matrix} 2\\ -3 \end{matrix}\right]\
Vektorin alkupisteestä liikutaan 2 yksikköä x-akselin positiiviseen suuntaan ja 3 pituusyksikköä y-akselin negatiiviseen suuntaan. Eli jos vektorin alkupiste on origo (0, 0) niin loppupiste on (2, -3).

Vektorin\ \overline{a}=\left[\begin{matrix} 2\\ -3 \end{matrix}\right]\ \ pituus\ on\ \left|\overline{a}\right|=\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{13}
Yleisesti
vektorin\ \overline{a}=\left[\begin{matrix} x\\ y \end{matrix}\right]\ pituus{,}\ \left|\overline{a}\right|=\sqrt{x^2+y^2}

Kahden pisteen välinen vektori
Pisteiden\ A\left(x_1{,}\ y_1\right)\ ja\ B\left(x_2{,}\ y_2\right)\ välinen\ vektori\ on\ \overline{AB}=\left[\begin{matrix} x_2-x_1\\ y_2-y_1 \end{matrix}\right]
Huom! 
A on vektorin alkupiste ja B on loppupiste ⇒ loppupisteen koordinaateista vähennetään alkupisteen koordinaatit

Kotitehtävät (Maa4,2): 532, 610, 612, 614

Kotitehtävät (Maa4,1): 610, 612, 614 ja 615

Vektoreiden summa ja erotus

 

Vektoreiden\ \overline{a}=\binom{x_1}{y_1}\ \ ja\ \overline{b}=\binom{x_2}{y_2}\ summavektori\ \overline{u}=\overline{a}+\overline{b}=\binom{x_1+x_2}{y_1+y_2}ja\ erotusvektori\ \overline{v}=\overline{a}-\overline{b}=\overline{a}+\left(-\overline{b}\right)=\binom{x_1-x_2}{y_1-y_2}

Huom! Erotusvektori tulkitaan vektorin ja toisen vektorin vastavektorin summana eli
vektorin\ \overline{b}\ vastavektori\ on\ -\overline{b}
 
summavektori\ \overline{u}=\overline{a}+\overline{b}\ tulkintaan\ graafisesti\ siten{,}\ että\ vektori\ \overline{b}\ piirretään

alkamaan\ vektorin\ \overline{a}\ loppupisteestä.\ Nyt\ summavektorin\ alkupiste\ on\ \overline{a}:n\ alkupiste
ja\ loppupiste\ on\ \overline{b}:n\ loppupiste.
 
Summavektorissa vektorit ovat piirroksessa peräkkäin.
 
Huom!
Nollavektorin\ pituus\ on\ nolla\ ja\ suunta\ määrittelemätön
Nollavektoria\ merkitään\ \overline{0}=\binom{0}{0}

Olkoon A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -2) ja D(-5, -2).

Määritä\ vektorit\ \overline{u}=\overline{AB}{,}\ \overline{v}=\overline{DC}\ sekä\ vektorit\ \overline{a}=\overline{u}+\overline{v}\ ja\ \overline{b}=\overline{v}-\overline{u}

Kotitehtävät: 632, 634, 636, 638

Vektoreiden yhdensuuntaisuus

Vektorin kertominen reaaliluvulla
 
Kun\ vektori\ \overline{a}=\binom{x}{y}\ \ker rotaan\ reaaliluvulla\ t{,}\ saadaan\ uusi\ vektori\ \overline{b}=\ t\cdot\overline{a}\ =t\ \overline{a}=\binom{tx}{ty}
jos\ t\ >0\ niin\ vektorit\ ovat\ samansuuntaiset
jos\ t<0\ niin\ vektorit\ ovat\ vastakkaissuuntaiset

Eli\ vektorit\ \overline{a}\ ja\ \overline{b}\ ovat\ yhdensuuntaiset{,}\ jos\ löytyy\ sellainen\ reaaliluku\ t{,}\ että\ \overline{b}=t\ \overline{a}

Yhdensuuntaisuusehto lyhyemmin

\overline{a}\ \parallel\ \overline{b}\ \ \Leftrightarrow\ \overline{b}=t\ \overline{a}\ {,}\ jossa\ t\ \in\mathbb{R}


Ovatko\ vektorit\ \overline{u}=\binom{1}{-2}\ ja\ \overline{v}=\binom{4}{-2}\ yhdensuuntaiset?

Ovat{,}\ jos\ löytyy\ reaaliluku\ t{,}\ että\ \overline{v}=t\ \overline{u}

\binom{4}{-2}=t\ \cdot\binom{1}{-2}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \binom{4}{-2}=\binom{1\cdot t}{-2\cdot t}
\Rightarrow4\ =t\ \ ja\ \ -2=-2t\ \ \Leftrightarrow t=1\ne4
Eli\ ei\ löydy\ yksikäsitteistä\ t:n\ arvoa{,}\ joten\ vektorit\ eivät\ ole\ yhdensuuntaiset

Kotitehtävät (Maa4,2): 656, 658 ja 660

Kotitehtävät (Maa4,1): 653, 656 ja 660

Muodosta\ vektorin\ \overline{a}\ komponenttiesitys\ ja\ vektorin\ \overline{a}\ pituus{,}\ kun
\overline{a}=3\overline{u}-\frac{1}{2}\overline{v}\

Tason kantavektorit

xy-koordinaatiston (tason) kantavektorit ovat yksikkövektorit
\overline{\text{i}}=\binom{1}{0}\ ja\ \ \overline{\text{j}}=\binom{0}{1}{,}\ jossa\ \overline{\text{i}}\ on\ x-akselin\ ja\ \ \overline{\text{j}}\ on\ y-aks\ suuntainen
\left|\overline{\text{i}}\right|=\left|\overline{\text{j}}\right|=1\ \left(=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{0^2+1^2}\right)\ sekä\ \overline{\text{i}}\perp\overline{\text{j}}\ \left(ovat\ kohtisuorassa\right)
 
Jokainen tason vektori voidaan esittää kantavektoreiden 
\overline{\text{i}}\ \ ja\ \overline{\text{j}} avulla
Esim
vektori\ \binom{3}{-2}=\binom{3}{0}+\binom{0}{-2}=3\cdot\binom{1}{0}+\left(-2\right)\cdot\binom{0}{1}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}

Yleisesti\ vektori\ \overline{a}=\binom{x}{y}=x\overline{\text{i}}+y\overline{\text{j}}

Kahden pisteen välinen vektori
Olkoon\ A\left(x_1{,}\ y_1\right)\ ja\ B\left(x_2{,}\ y_2\right).\ Nyt\ vektori\ \overline{AB}=\left(x_2-x_1\right)\overline{\text{i}}+\left(y_2-y_1\right)\overline{\text{j}}\ =\binom{x_2-x_1}{y_2-y_1}
 
Huom! Kantavektoreiden avulla muodostettu vektori voidaan esittää komponenttimuodossa ja päinvastoin

Esim\ vektori\ \overline{u}=4i-3\overline{\text{j}}=\binom{4}{-3}
vektorin\ \overline{u}\ pituus{,}\ \left|\overline{u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}=5


Paikkavektori

 
Paikkavektorin alkupiste on aina origo
 
Pisteen A(2, 3) paikkavektori on vektori, jonka alkupiste on origo ja loppupiste A(2, 3) ⇒
\overline{OA}=\binom{2}{3}=2\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}
 
Jos tiedetään, että vektori on paikkavektori
\overline{OB}=-\overline{\text{i}}-4\overline{\text{j}}\ \ \Rightarrow\ \ B\left(-1{,}\ -4\right)



Yksikkövektori
 
Vektorin\ \overline{a}\ yksikkövektoria\ merkitään\ \overline{a}^0

Vektorin yksikkövektori on kyseinen vektori jaettuna tämän vektorin pituudella

\overline{a}^0=\frac{\overline{a}}{\left|\overline{a}\right|}\left(=\frac{1}{\left|\overline{a}\right|}\cdot\overline{a}\right)
esim\ vektorin\ \overline{a}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}\ \left(=\binom{3}{-2}\right)yksikkövektori

\left|\overline{a}\right|=\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{13}\ \ \Rightarrow\ \overline{a}^0=\frac{\overline{a}}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\overline{\text{i}}-\frac{2}{\sqrt{13}}\overline{\text{j}}

Kotitehtävät (Maa4,2): 671, 672 ja 677
Kotitehtävät (Maa4,1): 674, 676 ja 657