2.1 Funktion raja-arvo

208

a)
kuvaajat 1 ja 2, koska raja-arvo niissä on 3
b)
kuvaajaan 1

207

B Funktion arvo ja raja-arvo kohdassa x=a voivat olla erisuuria

205

a)
$\lim_{x\rightarrow4}\ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x}\right)$
$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$
$\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$
b)
$\lim_{x\rightarrow5}\ \frac{x^2-25}{x-5}$
$\frac{5^2-25}{5-5}=\frac{0}{0}{,}\ voidaan\ siis\ sieventää\ lauseketta$
$\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x-5}=x+5$
$5+5=10$
c)
$\lim_{x\rightarrow3}\ \frac{9-x^2}{3x-9}$
$\frac{9-3^2}{3\cdot3-9}=\frac{0}{0}{,}\ sievennetään$
$\frac{\left(3+x\right)\left(-x+3\right)}{3\left(-x+3\right)}=\frac{3+x}{3}=\frac{6}{3}=2$

204

a)
$\lim_{x\rightarrow1}\left(3x-5\right)$
$3\left(1\right)-5=-2$
b)
$\lim_{x\rightarrow4}\ \frac{x+5}{3x}$
$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$
c)
$\lim_{x\rightarrow-2}\ \frac{x^2+2x}{x+2}$
$\frac{\left(x+2\right)x}{\left(x+2\right)1}=\frac{x}{1}=-2$

203

a)
1
b)
2
c)
2
d)
2 ja ei määritelty

202

a)
kuvaaja 1
taulukko 2

kuvaaja 2
taulukko 3

kuvaaja 3
taulukko 1
b)
merkintä sopii kaikkiin kuvaajiin

201

A4
B3
C2
D1

esimerkki

Esimerkki

tutki mitä lukua funktion $f\left(x\right)=\frac{3x^2-6x}{x-2}{,}\ x\ne2$

arvot lähestyvät, kun x lähestyy arvoa 2

lasketaan funktion arvoja laskimella, kun x lähestyy lukua vasemmalta ja oikealta

$f\left(1{,}9\right)=5{,}7$
$f\left(1{,}99\right)=5{,}97$

funktion f raja-arvo kohdassa a on luku b, jos funktion arvot lähestyvät lukua b kun x lähestyy lukua a

Merkitään $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \ tai\ \ \ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a$