1. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus

Kertausta funktioista

Funktion määritelmä:

Funktio f on kuvaus joukosta A joukkoon B, jossa jokaista joukon A alkiota x vastaa täsmälleen yksi joukon B alkio y. Tätä vastaavuutta voidaa merkitä

$f:\ A\ \rightarrow\ B{,}\ y=f\left(x\right)$

$Joukko\ A\ on\ lähtöjoukko{,}\ jota\ kutsutaan\ funktion\ määrittelyjoukoksi{,}\ M_f$
$Joukko\ B\ on\ maalijoukko{,}\ joka\ on\ funktion\ arvojoukko{,}\ A_f$

Funktion määrittelyjoukko voidaan helpommin päätellä kuin funktion arvojoukko. Useimmilla funktiotyypeillä määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko eli x ∈ R eli -∞ < x < ∞ (x:lle voidaan antaa mitä tahansa arvoja, joilla funktion arvo on määritelty (laskettavissa).

Ne funktiotyypit, joilla määrittelyjoukko on rajattu:

1. Murtofunktiot

$f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}{,}\ määrittelyehtona:\ q\left(x\right)\ne0\ \left(nimittäjä\ ei\ saa\ olla\ nolla\right)$

$esim.\ f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x^2-4}$
$Nimittäjän\ nollakohdat:\ x^2-4=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=4\ \ \ \Leftrightarrow\ x=\pm2$
$Nyt\ f\left(x\right)\ on\ määritelty{,}\ kun\ x\ \ne\pm2\ eli\ tämä\ tarkoittaa\ että\ f\left(2\right)\ ja\ f\left(-2\right)\ ei\ voida\ laskea$

2. Parilliset juurifunktiot (neliöjuurifunktiot)

$f\left(x\right)=\sqrt[n]{g\left(x\right)}{,}\ jossa\ n=2{,}\ 4{,}\ 6{,}\ ...$

Nyt f on määritelty kun g(x) ≥ 0 (esim neliöjuurta ei voida ottaa negatiivisesta luvusta)

$Esim\ funktio\ f\left(x\right)=\sqrt{2x-3}\ on\ määritelty{,}\ kun\ 2x-3\ge0\ \ eli\ kun\ x\ge\frac{3}{2}$

Tämä tarkoittaa sitä, että x:n paikalle ei voida sijoittaa 3/2 pienempiä x:n arvoja, koska näillä x:n arvoilla 2x - 3 < 0.

$funktion\ f\left(x\right)=\sqrt{2x-3}\ arvojoukko\ A_f:\ y\ge0$

eli funktio ei saa negatiivisia arvoja (neliöjuuri ei koskaan ole negatiivinen)

3. Logaritmifunktiot

$f\left(x\right)=\log_a\left(g\left(x\right)\right)$

Koska logaritmia ei voida ottaa negat. luvusta eikä nollasta niin f on määritelty, kun g(x) > 0

$Esim\ f\left(x\right)=\ln\left(x-3\right)\ on\ määritelty{,}\ kun\ x-3\gt 0\ eli\ x\gt 3$

Kaikki muut funktiotyypit (polynomifunktiot, sini- ja kosinifunktiot, eksponenttifunktiot, parittomat juurifunktiot) on määritelty kaikilla x:n arvoilla.

Huom! Funktion arvojoukko tiedetään

- sini- ja kosinifunktioille, joiden arvojoukko on [-1, 1] (-1≤ y ≤ 1)

- neliöjuurifunktioille, joiden arvojoukko on y ≥ 0

- eksponenttifunktiolle, arvojoukko y > 0

Polynomin jakaminen tekijöihin

Useimmiten tekijöihin jako koskee 2. asteen polynomeja, mutta seuraavat tekijöihinjakotavat koskevat myös kaikkia polynomeja

Polynomi voidaan jakaa tekijöihin

1. erottamalla yhteinen tekijä

$4x-2x^2=2x\cdot2-2x\cdot x=2x\left(2-x\right)$

$2x^3-3x^2=x^2\left(2x-3\right)$

2. Muistikaavat (summan ja erotukset tulo sekä binomin neliö)

$a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\ \ ja\ \ a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2$
$4x^2-25=\left(2x\right)^2-5^2=\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)$
$x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2$

3. Ryhmittelemällä

Koskee 3. asteen polynomeja, yleisesti, kun polynomin asteluku on 3 tai suurempi

$x^3-2x^2+4x-8=\left(x^3-2x^2\right)+\left(4x-8\right)$

tarkastellaan kahta eka termiä ja viimeisiä termejä, joista etsitään yhteiset tekijät
$=x^2\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$

Nyt molemmissa on yhteinen tekijä x - 2

$=\left(x-2\right)\left(x^2+4\right)$

4. Nollakohtien avulla

$jos\ polyno\min\ ax^2+bx+c\ nollakohdat\ ovat\ x=x_1\ ja\ x=x_2\ niin\ polyno\min\ tekijät\ ovat$
$x-x_1\ ja\ x-x_2$
$nyt\ koko\ polynomi\ ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Jaetaan polynomi p(x) tekijöihin kun

$p\left(x\right)=2x^2+2x-4=2\left(x^2+x-2\right)$

Nyt täytyy hakea polynomin nollakohdat, joiden avulla tekijät saadaan eli ratkaistaan yhtälö

$x^2+x-2=0\ \ \ \$
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm3}{2}$

$x_1=1\ \ tai\ x_2=-2\ \ \ \Rightarrow\ tekijät\ x-1\ ja\ x+2$
$Nyt\ p\left(x\right)=2x^2+2x-4=2\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Huom!

$Kun\ huomataan\ helposti{,}\ että\ polyno\min\ x^2+x-2\ yksi\ nollakohta\ on\ x=1$

$Nyt\ polyno\min\ yksi\ tekijä\ on\ x-1\ ja\ toinen\ tekijä\ päätellään$
$polyno\min\ \ker tolaskun\ avulla$
$x^2+x-2=\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Murtolausekkeita ja murtoyhtälöitä

Sievennä/laske

$\frac{3-x}{3x^2}+\frac{x-1}{x}\ \left(lavennetaan\ samannimisiksi:\ jälkimmäinen\ lavennetaan\ 3x\right)$

$Huom!$

Murtolauseke supistuu vain jos osoittajassa ja nimittäjässä on yhteinen tekijä . Esim

$\frac{x^2-x-2}{x+1}$

Murtolauseke sievenee, jos osottajassa on tekijänä sama kuin nimittäjässä eli x + 1 ⇒ yksi nollakohta pitäisi olla x = -1

$Huomataan{,}\ että\ \left(-1\right)^2-\left(-1\right)+2=0\ eli\ osottajan\ nollakohta\ on\ x=-1$

$eli\ osottajan\ yksi\ tekijöistä\ on\ x+1$

$toinen\ tekijä\ voidaan\ päätellä\ polyno\min\ \ker tolaskun\ avulla:$

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x^2-x-2$

$nyt\ \frac{x^2-x-2}{x+1}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x+1}=x-2$

$\frac{2}{x^2+2x}+\frac{x-1}{x}=\frac{2}{x\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\ \left(jälkimmäinen\ lavennettu\ x+2\right)$

$=\frac{2}{x\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}\ \left(molemmilla\ on\ sama\ nimittäjä\Rightarrow lasketaan\ osoittajat\ yhteen\right)$
$=\frac{2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{2+x^2+2x-x-2}{x\left(x+2\right)}=\frac{x^2+x}{x\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+1\right)}{x\left(x+2\right)}=\frac{x+1}{x+2}$

Kotitehtävät: 111 ja 112

Raja-arvo

Funktion raja-arvo

Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvona luku b, kun x lähestyy a:ta. Tätä merkitään

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b\ \ \left(tai\ f\left(x\right)\rightarrow b{,}\ kun\ x\rightarrow a\right)$

Nyt funktion raja-arvossa on kyse siitä, että funktio ei saavuta arvoa b, vaan lähestyy sitä.

Raja-arvon laskeminen: Sijoitetaan se muuttujan arvo, jota lähestytään, funktion lausekkeeseen.

Murtofunktioiden tapauksessa, jos lasketaan raja-arvoa kohdassa, jossa funktiota ei ole määritelty, sijoitus voi johtaa muotoon 0/0, jolloin murtolauseketta joudutaan sieventämään ennen raja-arvon laskemista.

Laske raja-arvo.

$\lim_{x\rightarrow1}\left(x^2-3\right)=1^2-3=-2$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x^2-6x}{x-2}$
$nyt\ x:n\ arvon\ 2\ sijoitus\ johtaa\ muotoon\ \frac{0}{0}$

⇒ murtolauseketta sievennetään. Tiedetään, että myös osoittajan nollakohta on x = 2 ⇒ osoittajasta löytyy myös tekijä x - 2

$=\lim_{x\rightarrow2}\frac{3x\left(x-2\right)}{x-2}\ \left(\sup istetaan\ yhteinen\ tekijä\ x-2\right)$
$=\lim_{x\rightarrow2}3x=3\cdot2=6$
$eli\ funktion\ raja-arvo\ on\ 6{,}\ kun\ x\ lähestyy\ 2$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$

x:n arvon 1 sijoittaminen johtaan muotoon 0/0

⇒ x=1 on sekä osottajan että nimittäjän nollakohta ⇒ molemmissa on tekijänä x - 1

$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$ osottajan toinen tekijä on päätelty polynomin kertolaskun avulla

$=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{3}{2}$

$Funktion\ f\ arvot\ lähestyvät\ arvoa\ \frac{3}{2}{,}\ kun\ x\ \rightarrow\ 1$

Kotitehtävät: 128, 130 ja 133

Kotitehtävät: 138, 140 ja 141

Funktion jatkuvuus

Jatkuvan funktion kuvaaja on yhtenäinen eli kuvaaja ei katkea missään kohdissa. Nyt kaikki polynomi-, murto-, eksponentti- ja logaritmi- sekä trigonometriset funktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukossaan.

Määritelmä jatkuvuudelle

Funktio on jatkuva kohdassa x = a, jos funktiolla on raja-arvo kohdassa x = a ja tämä raja-arvo on yhtä suuri kuin funktion arvo kohdassa x = a.

$lyhyem\min:\ jatkuvuusehto\ kohdassa\ x\ =\ a$

$\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Funktion jatkuvuutta tarkastellaan sellaisilla funktioilla, jotka on määritelty kahdessa tai useammassa osassa (paloittain) esim

$f\left(x\right)=\begin{cases} 2x-1{,}\ kun\ x\lt -1&\\ x^2-3{,}\ kun\ x\ge-1& \end{cases}$
$Nyt\ jatkuvuutta\ pitäisi\ tutkia\ vain\ kohdassa\ x\ =\ -1$

Näitä jatkuvuustarkasteluja käsitellään tarkemmin syventävällä kurssilla MAA12

Bolzanon lause

Liittyy jatkuvan funktion yhteen perusominaisuuksista.

Bolzanon lause:

Jos funktio f on jatkuva jollakin välillä [a, b] (a ≤ x ≤ b) ja funktio saa erimerkkiset arvot välin päätepisteissä niin tällöin funktiolla on ainakin yksi nollakohta välillä ]a, b[ (a < x < b).

Todetaan, että funktio f on jatkuva ja lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä eli f(a) ja f(b). Jos ne ovat erimerkkiset eli esim f(a) < 0 ja f(b) > 0 niin funktiolla on varmasti ainakin yksi nollakohta
$eli\ funktion\ kuvaaja\ leikkaa\ x-akselin\ ainakin\ \ker ran$

Esim

Osoita, että funktiolla

$f\left(x\right)=x^3+3x-2\ on\ ainakin\ yksi\ nollakohta.$
$Nyt\ f\ on\ määritelty\ kaikilla\ x:n\ arvoilla\ ja\ f\ on\ jatkuva.$
$Nyt\ etsitään\ kaksi\ x:n\ arvoa{,}\ joilla\ \ toisella\ funktion\ arvo\ on\ negat\ ja\ toisella\ posit$
$Huomataan{,}\ että\ f\left(0\right)=-2\lt 0\ ja\ f\left(1\right)=2\gt 0\ eli\ f\ saa\ välillä\ \left[0{,}\ 1\right]\ erimerkkiset\ arvot$
$\Rightarrow\ f:llä\ on\ ainakin\ yksi\ nollakohta\ välillä\ 0\ \lt x\lt 1$