2. Derivaatta

Funktion muutosnopeus

Derivaatan määritelmä

Funktion f erotusosamäärä välillä [a, x] kertoo funktion keskimääräisen muutosnopeuden tällä välillä. Graafisesti tämä on suoran, sekantin kulmakerroin.

Erotusosamäärä välillä [a, x]

$\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Seuraavasta linkistä nähdään mitä tapahtuu, kun x lähestyy a:ta:
Derivaatan määritelmä

Eli derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo.
Nyt funktion derivaatta kohdassa x = a on erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy a:ta.

$f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}$

Tämä on funktion kuvaajalle kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin. Derivaatta kertoo funktion hetkellisen muutosnopeuden.

Määritä funktion f(x) derivaatta kohdassa x = 1, kun

$f\left(x\right)=x^2-4x$

Funktion f derivaattaa kohdassa x = 1 merkitään
$f'\left(1\right)=\lim_{x\rightarrow1}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x-\left(1^2-4\cdot1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-4x+3}{x-1}$
Tämä raja-arvo on muotoa 0/0 eli nyt myös osottajasta löytyy tekijä x - 1 $=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}\ \ \left(tässä\ toinen\ tekijä\ on\ päätelty\right)$
$=\lim_{x\rightarrow1}\left(x-3\right)=1-3=-2$
$eli\ funktion\ derivaatta\ kohdassa\ x=1{,}\ f'\left(1\right)=-2$
Tämä tarkoittaa myös sitä, että funktion muutosnopeus kohdassa x = 1 on -2 (vähenemisnopeus). Graafisesti tämä tarkoittaa, että jos funktion f kuvaajalle eli paraabelille piirretään tangentti kohtaa x = 1 vastaavaan paraabelin pisteeseen (1, -3), niin sen kulmakerroin on -2.

Määritä funktion f derivaatta kohdassa x = -1, kun

$f\left(x\right)=-x^2+2$

$f'\left(-1\right)=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-x^2+2-\left(-\left(-1\right)^2+2\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-x^2+1}{x+1}$
$=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\left(x+1\right)\left(-x+1\right)}{x+1}=-\left(-1\right)+1=2$

Kotitehtävät: 226, 229 ja 227

Derivaattafunktio

Polynomifunktion derivaatta

Funktion f(x) derivaattaa kohdassa x (yleinen derivaatta) merkitään

$f'\left(x\right)\ tai\ \ Df\left(x\right)\ tai\ \frac{df}{dx}=\frac{dy}{dx}\left(=\frac{d}{dx}f\left(x\right)\right)$

Yleensä tehtävissä funktio derivoidaan derivoimissääntöjen avulla, sillä derivointi derivaatan määritelmän avulla on työlästä

Yleisiä derivoimissääntöjä

1. Summan derivointi (esim polynomifunktion jokainen termi derivoidaan erikseen)

$D\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=Df\left(x\right)+Dg\left(x\right)\left(=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)\right)$

2. Vakiotekijän siirtosääntö

$D\left(af\left(x\right)\right)=a\cdot Df\left(x\right)\left(=a\cdot f'\left(x\right)\right)$

3. Vakiofunktion derivaatta on aina nolla eli D a = 0 (a on vakio)

4. Lisäksi polynomin potenssitermeille on voimassa

$Dx^n=n\cdot x^{n-1}$

esimerkiksi

$Dx^3=3x^2{,}\ Dx^5=5x^4\ jne$
$Huom!\ \ Dx=1\left(=1\cdot x^0\right)\ \ \Rightarrow Dax=a$

Määritä
$a.\ \ D\left(x^4-2x^3+4x-2\right)$
Polynomin jokainen termi derivoidaan erikseen

$=Dx^4-2\cdot Dx^3+4\cdot Dx-D2=4x^3-2\cdot3x^2+4\cdot1-0=4x^3-6x^2+4$

$b.\ \ f'\left(x\right){,}\ kun\ f\left(x\right)=3x^2-5x+4$

Kotitehtävät: 228, 245, 246 ja 247