3. Funktion monotonisuus ja ääriarvot

Kasvaminen ja väheneminen

Funktion kasvaminen ja väheneminen (funktion kulku)

Funktio määritellään kasvavaksi, jos muuttujan arvojen kasvaessa myös funktion arvot kasvavat.
Eli kasvavalle funktiolle jos
$x_1<x_2\ niin\ myös\ f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Vähenevällä funktiolla muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvon pienenevät.
eli vähenevälle funktiolle
$jos\ x_1<x_2\ niin\ myös\ f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Funktion kasvamista ja vähenemistä tutkitaan derivaatan avulla:

$Jos\ f'\left(x\right)\ge0\ jollakin\ lukusuoran\ alueella\ niin\ tällöin\ f\ on\ aidosti\ kasvava.$

$Jos\ f'\left(x\right)\le0\ niin\ f\ on\ aidosti\ vähenevä.$

Funktion kulun tutkimiseen eli missä lukusuoran osissa f on kasvava ja missä vähenevä, liittyvät seuraavat vaiheet:

1. Muodostetaan funktion f derivaatta f '(x)

2. Määritetään derivaatan nollakohdat eli ratkaistaan yhtälö f '(x) = 0

derivaatan merkki voi vaihtua vain derivaatan nollakohdan yhteydessä

3. Laaditaan derivaatan merkkikaavio, joka kertoo missä derivaatta on posit. ja missä negat.

Derivaatan merkkikaaviosta nähdään missä f on kasvava ja missä vähenevä (funktion kulkukaavio).

Esimerkki

Tutki funktion f(x) kasvamista ja vähenemistä, kun

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x$

$f'\left(x\right)=3x^2-12x+9\ \ \ \left(1.\right)$
$ratkaistaan\ yhtälö\ f'\left(x\right)=0\ \ \ \left(2.\right)$
$3x^2-12x+9=0\ \mid:3$
$x^2-4x+3=0$
$x=\frac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{4\pm2}{2}$
$x=3\ \ \ tai\ x=1\ \ \left(derivaa\tan\ nollakohdat\right)$
$Laaditaan\ derivaa\tan\ merkkikaavio\ \left(3.\right)$

Derivaatta on ylöspäin aukeava paraabeli ⇒ derivaatta on negatiivinen nollakohtien välissä
$\begin{array}{l|l} f'&\ \ \ +\ \ \ \ 1&\ \ \ \ \ -\ \ \ \ 3&\ \ \ +\\ \hline f&kasvava&vähenevä&kasvava \end{array}$

Funktio f on aidosti vähenevä välillä 1 ≤ x ≤ 3, muualla (x≤1, x≥3) aidosti kasvava

Tehtäviä: 301, 303, 304, ...

Kotitehtävät 304, 306, 258

Kotitehtävät: 312 ja 310

Funktion paikalliset ääriarvot

Erään funktion f derivaatan merkkikaavio ja kulkukaavio on ohessa.

$\begin{array}{l|l} f'&\ \ \ -\ \ \ \ \ -2&\ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ 1&\ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ \ \ 3&\ \ \ \ -\\ \hline f&vähenevä\searrow&kasvava\nearrow&kasvava\nearrow&\searrow vähenevä \end{array}$

$eli\ funktion\ f\ derivaa\tan nollakohdat\ eli\ yhtälön\ f'\left(x\right)=0\ ratkaisut\ ovat$

$x=-2{,}\ x=1\ ja\ x=3$
Ne derivaatan nollakohdat, joissa derivaatan merkki vaihtuu ts funktio muuttuu kasvavasta väheneväksi tai päinvastoin, ovat funktion ääriarvokohtia. Derivaatan nollakohta on maksimikohta, jos funktio muuttuu kasvavasta väheneväksi ja minimikohta, jos funktio muuttuu vähenevästä kasvavaksi.

Esimerkissä maksimikohta on x = 3 ja minimikohta on x = -2

HUOM! Derivaatan nollakohdista x = 1 ei ole ääriarvokohta, koska derivaatan merkki ei vaihdu. Kohta x = 1 on ns. terassikohta.

Ääriarvot on funktion arvoja eli
Maksimiarvo eli maksimi on funktion arvo kohdassa x = 3 eli f(3).
Minimiarvo eli minimi on funktion arvo kohdassa x = -2 eli f(-2).

Määritä funktion f ääriarvot, kun

$f\left(x\right)=x^5-15x^3+10$

$f'\left(x\right)=5x^4-15\cdot3x^2=5x^4-45x^2$
Ääriarvokohtia voivat olla derivaatan nollakohdat (jos derivaatan merkki vaihtuu)

$5x^4-45x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2\left(x^2-9\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=0\ \ tai\ \ x^2-9=0$
$\Leftrightarrow x=0\ \ tai\ x^2=9\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ tai\ x=\pm3$
Laaditaan derivaatan merkkikaavio:

$\begin{array}{l|l} f'&\ \ \ +\ \ \ \ -3&\ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ 0&\ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ \ \ 3&\ \ \ +\ \ \ \\ \hline f&\ \ \ \nearrow&\ \ \ \searrow&\ \ \ \ \searrow&\ \ \ \nearrow \end{array}$ max min
Maksimikohta on x = -3 ja minimikohta on x = 3
Ääriarvot:
$maksimi\ on\ f\left(-3\right)=\left(-3\right)^5-15\cdot\left(-3\right)^3+10=172$
$\min imi\ on\ f\left(3\right)=3^5-15\cdot3^3+10=-152$

Kotitehtävät: 325, 326, 261