6. Trigonometristen funktioiden derivointi

Fermat'n lause sekä sinin ja kosinin derivaatta


Fermat'n lause

Jos jatkuva funktio on määritelty suljetulla välillä [a, b] (a ≤ x ≤ b), niin funktiolla löytyy aina sekä suurin että pienin arvo. 

Fermat'n lauseen mukaan suljetulla välillä määritellyn jatkuvan funktion suurin ja pienin arvo löytyvät
suljetun välin päätepisteistä tai derivaatan nollakohdista.

Käytännössä jos funktio on määritelty suljetulla välillä niin suurin ja pienin arvo löytyvät seuraavasti:
1. Funktio derivoidaan ja määritetään derivaatan nollakohdat.
2. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa.
3. Näistä arvoista suurin on funktion suurin arvo ja pienin arvo funktion pienin arvo.

604
 
f\left(x\right)=x-\sqrt{4x-8}
f\ on\ määritelty{,}\ kun\ 4x-8\ge0\ eli\ \ x\ge2

Suurin ja pienin arvo välillä [2, 6]
Nyt suurin ja pienin arvo löytyvät varmasti (Fermat'n lause) derivaatan nollakohdista (jotka ovat suljetulla välillä) tai välin päätepisteistä (f(2) ja f(6)).
Määritetään ensin derivaatan nollakohdat.
f\left(x\right)=x-\left(4x-8\right)^{\frac{1}{2}}

f'\left(x\right)=1-\frac{1}{2}\left(4x-8\right)^{\frac{1}{2}-1}\cdot4=1-2\left(4x-8\right)^{-\frac{1}{2}}=1-\frac{2}{\sqrt{4x-8}}
Derivaatan nollakohdat:
1-\frac{2}{\sqrt{4x-8}}=0\ \ \ \ \Leftrightarrow\ 1=\frac{2}{\sqrt{4x-8}}\ \ \mid\cdot\sqrt{4x-8}
\Leftrightarrow\ \sqrt{4x-8}=2\ \parallel\ \left(\right)^2\ \Leftrightarrow\ 4x-8=4\ \Leftrightarrow4x=12\ \ \Leftrightarrow x=3

Derivaatan nollakohta x = 3 kuuluu välille [2, 6]
Lasketaan funktion arvot kohdissa x = 2, x = 3 ja x = 6
f\left(2\right)=2-\sqrt{4\cdot2-8}=2
f\left(3\right)=3-\sqrt{4\cdot3-8}=1
f\left(6\right)=6-\sqrt{4\cdot6-8}=2

Funktion suurin arvo on 2 ja pienin 1 eli funktion arvojoukko on [1, 2], kun funktion on määritelty välillä [2, 6]

Kotitehtävät: 537, 606 ja 609


Sinin ja kosinin derivaatta

 
D\ \sin x=\cos x\ \ ja\ D\cos x=-\sin x


Yleisesti:\ D\ \sin f\left(x\right)=\cos f\left(x\right)\cdot f'\left(x\right)\ \ ja\ D\cos f\left(x\right)=-\sin f\left(x\right)\cdot f'\left(x\right)

Kotitehtävät: 623, 627 ja 611b

Määritä funktio f derivaatta, kun
a)
f\left(x\right)=\sin2x+x

f'\left(x\right)=\cos2x\cdot D2x+1=2\cos2x+1
Määritetään\ derivaa\tan\ nollakohdat\ eli
2\cos2x+1=0
2\cos2x=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos2x=-\frac{1}{2}

taulukkokirjasta katsotaan, minkä kulmien 2x kosini saa arvon -1/2
 
2x=\frac{2\pi}{3}\ \ \ tai\ 2x=\frac{4\pi}{3}\ \ \left(yksittäisratkaisut\right)
Yleinen ratkaisu saadaan, kun näihin lisätään kosinin jakso 2π
 
2x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi\ \ tai\ 2x=\frac{4\pi}{3}+n\cdot2\pi\ \ \ \parallel:2
x=\frac{\pi}{3}+n\cdot\pi\ \ tai\ x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot\pi

tehtäviä 624, 625, 626, 630, 634, 637 

Kotitehtävät: 635, 637 ja 638

Kotitehtävät (16.12.): 642, 726 ja 735. Tunnilla käsiteltiin tehtävää 731 (siihen liittyvä esimerkki on esimerkki 1)

 
Määritä funktion f(x) suurin ja pienin arvo, kun
f\left(x\right)=\sin x+\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)-1


Koska sinin ja kosinin jaksona on 2π (kuvaajan muoto toistuu samanlaisena aina 2π:n välein) niin suurin ja pienin arvo voidaan määrittää esim suljetulla välillä [0, 2π]. 
Nyt suurimman ja pienimmän arvon määrittämisessä voidaan käyttää Fermat'n lausetta: Suljetulla välillä jatkuvan funktion suurin ja pienin arvo löydetään, kun lasketaan funktiot arvot suljetun välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdisssa (suljetulle välille kuuluvissa).
 
Määritetään derivaatan nollakohdat
 
f'\left(x\right)=\cos x+\frac{1}{2}\left(-\sin2x\right)\cdot2=\cos x-\sin2x
derivaa\tan\ nollakohdat:\ \cos x-\sin2x=0

\sin2x=2\sin x\cos x (taulukosta löytyy)
\cos x-2\sin x\cos x=0
otetaan yhteinen tekijä cosx
\cos x\left(1-2\sin x\right)=0
tulon nollasäännön mukaan
\cos x=0\ \ tai\ \ 1-2\sin x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \sin x=\frac{1}{2}
\cos x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{2}\ tai\ x=\frac{3\pi}{2}\ \left(yleiseen\ ratkaisuun\ tulisi\ +n\cdot2\pi\right)
\sin x=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\pi}{6}\ \left(+n\cdot2\pi\right)\ tai\ x=\frac{5\pi}{6}\left(+n\cdot2\pi\right)

Välillä [0, 2π] on neljä derivaatan nollakohtaa eli nyt lasketaan funktion arvot näissä ja välin päätepisteissä
f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\ \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)-1=1+\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)-1=-\frac{1}{2}

f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1+\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)-1=-2\ \frac{1}{2}

f\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{4}
f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{1}{4}
f\left(0\right)=-\frac{1}{2}
f\left(2\pi\right)=-\frac{1}{2}
Näistä\ suurin\ on\ -\frac{1}{4}\ ja\ pienin\ on\ -2\ \frac{1}{2}
nyt\ funktion\ suurin\ arvo\ on\ -\frac{1}{4}\ ja\ pienin\ -2\ \frac{1}{2}