Paraabelin yhtälö

Paraabelin yhtälö yleisessä muodossa, kun paraabeli aukeaa ylös tai alaspäin, on

$y=ax^2+bx+c$
$Kurssilla\ 2\ tarkasteltiin\ 2.\ asteen\ yhtälöitä\ ax^2+bx+c=0$

Kyseinen 2. asteen yhtälö saadaan, kun määritetään paraabelin nollakohtia (paraabelin ja x-akselin leikkauskohtia), jossa y=0

Paraabelin aukeamissuunnan määrää a (x^2-termin kerroin)

Jos a > 0 paraabeli aukeaa ylöspäin ja vastaavasti alaspäiaukeavalle paraabelille a < 0

Paraabelin yhtälön määrittäminen

PParaabelilla on huippu ja symmetria-akseli (kulkee huipun kautta). Ylös- tai alaspäin aukeava paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan y-akselin suuntaisen suoran suhteen.

Jos tiedetään paraabelin huippu niin paraabeli yhtälön määrittämisessä käytetään paraabeli yhtälön huippumuotoa

$Jos\ huippu\ on\ \left(x_0{,}\ y_0\right)\ niin\ paraabelin\ yhtälö\ on\ muotoa$

$y-y_0=a\left(x-x_0\right)^2$

Lisäksi on tiedettävä yksi ylimääräinen paraabelin piste, jonka avulla saadaan vakio a selvitettyä

esimerkki

Paraabelin huippu on (-3, 1) ja lisäksi paraabeli kulkee pisteen (-2, -1) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.

$Nyt\ \left(x_0{,}\ y_0\right)=\left(-3{,}\ 1\right)\ \Rightarrow\ huippumuoto\ y-1=a\left(x+3\right)^2$
$Lisäksi\ piste\ \left(-2{,}\ -1\right)\ toteuttaa\ paraabelin\ yhtälön{,}\ jolloin\ saadaan\ yhtälö$
$-1-1=a\left(-2+3\right)^2\ \ \Leftrightarrow-2=a\cdot1^2\ \ \Leftrightarrow a=-2\ \left(aukeaa\ alaspäin\right)$
$sijoitetaan\ vielä\ a=-2\ huippumuotoon:$
$y-1=-2\left(x+3\right)^2$
$Yleensä\ paraabelin\ yhtälö\ annetaan\ yleisessä\ muodossa\ eli\ muokataan\ huippumuotoista\ yhtälöä$

$y-1=-2\left(x^2+6x+9\right)\ \Leftrightarrow y-1=-2x^2-12x-18$

$\Leftrightarrow y=-2x^2-12x-17$

Huom! Jos paraabelin huippua ei tiedetä niin on tunnettava kolme paraabelin pistettä, jolloin paraabelin yhtälön määrittäminen aloitetaan yleisestä muodosta

$y=ax^2+bx+c$

Tähän yhtälöön sijoitetaan jokaisen kolmen pisteen koordinaatit, jolloin saadaan yhtälöryhmä, jonka ratkaisut ovat a, b ja c

Määritä suoran ja paraabelin leikkauspisteet, kun

$suoran\ yhtälö\ on\ 2x-y-1=0\ ja\ paraabelin\ yhtälö\ y=-2x^2+4x+3$

$\begin{cases} 2x-y-1=0&\\ y=-2x^2+4x+3& \end{cases}$

Kotitehtävät: 505, 469
Kotitehtävät (Maa4,1): 508, 510 ja 515