määritelmä

Funktion f derivaattafunktio on $f'$

ja $f'\left(x\right)$ on derivaatan arvo kohdassa x

$f'\left(x\right):n$ määrittelyjoukko muodostuu niistä pisteistä, joissa f on derivoituva

esim

määritä f(x) derivaattafunktio f'(x)

a)

$f\left(x\right)=x^2$

määritetään derivaatta kohdassa a

$f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\lim_{\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\frac{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}{x-a}=2a$

kohdassa a, derivaatta on 2a

kohdassa x derivaatta on 2x, eli $f'\left(x\right)=2x$

b)

$f\left(x\right)=x^3$

$f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\lim_{\rightarrow a}\frac{x^3-a^3}{x-a}=\frac{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}{x-a}=3a^2$
$f'\left(x\right)=3x^2$

c)

$f\left(x\right)=x^4$
$f'\left(a\right)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\lim_{\rightarrow a}\frac{x^4-a^4}{x-a}=\frac{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}{x-a}=4a^3$

$f'\left(x\right)=4x^3$

Lause $x^n$ on derivoituva ja

Derivoimista voidaan merkitä myös

$\frac{d}{dx}x^n=\frac{dx^n}{dx}=nx^{n-1}$

Lause

kun k on vakio ja f ja g ovat derivoituvia

a) $D\ k=0$

b) $D\ kx=k$

c) $D\ \left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=D\ f\left(x\right)+D\ g\left(x\right)$

d) $D\ k\cdot f\left(x\right)=k\ D\ f\left(x\right)$

ESIM

$D\left(3x^2-4x+2\right)=D\left(3x^2\right)+D\left(-4x\right)+D\left(2\right)=3\cdot2x-4+0=6x-4$

$g\left(x\right)=-3x^5+2x^3-5x$
$g'\left(x\right)=-15x^4+6x^2-5$

$h\left(x\right)=-3x^4+x-5$

$h'\left(x\right)=-12x^3+1$
$h'\left(-1\right)=13$