5.3 Aritmeettinen summa
Aritmeettinen summa
Päättyvän lukujonon ([[$ a_1, a_2,...,a_n $]]) kaikki jäsenet voidaan laskea yhteen ja saadaan summa[[$$ S=a_1 + a_2 + ... + a_n $$]]
Päättymättömälle lukujonolle summaa ei voida määrittää, koska jono lähestyy negatiivista ([[$ -\infty $]]) ja/tai positiivista ääretöntä ([[$ \infty $]]).
Kun aritmeettisen lukujonon [[$ n $]] ensimmäistä jäsentä lasketaan yhteen, saadaan aritmeettinen summa [[$$ S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+...+a_n $$]]
Aritmeettisen lukujonon summa ([[$ n $]] ensimmäistä jäsentä) lasketaan kaavalla
[[$$ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}, $$]]
jossa
[[$n$]] on summaan laskettavien jäsenten lukumäärä
[[$a_1$]] on ensimmäinen jäsen
[[$a_n$]] on [[$n$]]:s jäsen
Kaavassa ensimmäisen ja [[$ n $]]:n jäsenen keskiarvo kerrotaan jäsenten lukumäärällä [[$ n $]].
Kaava voidaan ilmoittaa myös muodossa [[$S_n=n \cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$]]
Kaavan johtaminen on linkissä.
Aritmeettisen summan GeoGebra-sovelma
Esimerkki 1
Määritä lukujonon [[$ 29,22,15,... $]] viiden ensimmäisen jäsenen summa.
Ratkaisu:
Koska tehtävässä ei kerrota, onko lukujono aritmeettinen, on se tarkistettava ensin.
[[$\begin{align}d&=a_2-a_1=22-29=-7\\d&=a_3-a_2=15-22=-7\end{align}$]]
Koska peräkkäisten jäsenten erotus [[$d$]] on vakio, lukujono on aritmeettinen.
[[$ \begin{align}a_4&=a_3+d=15-7=8\\a_5&=a_4+d=8-7=1\end{align} $]]
Viiden ensimmäisen jäsenen summa on [[$ S_n=29+22+15+8+1=75 $]].
Summan kaavalla saadaan
[[$ S_n=\dfrac{n(a_1+a_5)}{2}=\dfrac{5 \cdot (29+1)}{2}=\dfrac{150}{2}=75 $]] eli sama tulos.
Vastaus: Lukujonon viiden ensimmäisen jäsenen summa on 75.
Esimerkki 2
Aritmeettisen lukujonon summa on [[$ 82 $]]. Kuinka monta termiä lasketaan yhteen, kun ensimmäinen termi on [[$ \text{2,7} $]] ja viimeinen termi [[$ \text{9,92} $]]?
Ratkaisu:[[$ \begin{align}S_n&=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\S_n&=\dfrac{n( \text{2,7}+ \text{9,92})}{2}=82 & \parallel \cdot2 \end{align} $]]
[[$ \begin{align}n \cdot \text{12,62}&=164 & & \parallel : \text{12,62}\\n&=13\end{align} $]]
Vastaus: 13 termiä
Esimerkki 3
a) [[$ -7, -9\frac{1}{2}, -12,...,-97 $]]
b) [[$ a_1=0 $]] ja peräkkäisten jäsenten erotus on [[$ 3,7 $]]
c) [[$ \displaystyle\sum_{n=1}^{100}(2n-1) $]]
Ratkaisu:
a) [[$ -7, -9\frac{1}{2}, -12,...,-97 $]]
[[$ d=-9\frac{1}{2}-(-7)=-2\frac{1}{2} $]]
Määritetään jäsenten lukumäärä [[$ n $]].
[[$ \begin{align}a_n&=a_1+(n-1)\cdot d\\-97&=-7+(n-1)\cdot(-2\frac{1}{2})\\&=-7-2\frac{1}{2}n+2\frac{1}{2}\\&=-2\frac{1}{2}n-4\frac{1}{2}\\-2\frac{1}{2}n&=-97+4\frac{1}{2}\\-2\frac{1}{2}n&=-92\frac{1}{2} & \parallel :(-2\frac{1}{2})\\n&=37\end{align} $]]
Summa on
[[$ \begin{align}S_n&=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{37(-7-97)}{2}=-1924\end{align} $]]
b) [[$ a_1=0 $]] ja peräkkäisten jäsenten erotus on [[$ 3,7 $]].
[[$ d=3,7 $]]
Lukujono jatkuu kohti positiivista ääretöntä [[$ \infty $]], joten summaa ei voida määrittää.
c) [[$ \displaystyle\sum_{n=1}^{100}(2n-1) $]]
[[$ \begin{align}n&=100\\a_n&=2n-1\\a_1&=2\cdot 1-1=1\\a_{100}&=2\cdot 100-1=199\end{align} $]]
Summa on
[[$ \begin{align}S_n&=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{100(1+199)}{2}=10 \, 000\end{align} $]]
Vastaus:
a) Summa on –1924.
b) Summaa ei voida määrittää.
c) Summa on 10 000.
Esimerkki 4
Auditoriossa on alimmalla rivillä [[$ 20 $]] istuinta. Istuimia on [[$ 17 $]] rivillä yhteensä [[$ 612 $]].
a) Kuinka monta istuinta on viimeisellä rivillä?
b) Kuinka monta istuinta on kolmannella rivillä?
a) Auditorio voidaan ajatella aritmeettisena lukujonona, jossa [[$ a_1=20 $]] ja [[$ n=17 $]].
[[$ \begin{align} S_n&=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{17(20+a_n)}{2}=\frac{340+17a_n}{2}=612 & \parallel & \cdot 2\\340+17a_n&=1224 & \parallel &-340\\17a_n&=884 & \parallel &:17\\a_n&=52 \end{align} $]]
b)
[[$ \begin{align} a_n&=a_1+(n-1)\cdot d\\a_{17}&=20 +(17-1)\cdot d=20+16d=52\\16d&=32 & \parallel :16\\d&=2 \end{align} $]]
[[$ a_3=a_1+2d=20+2 \cdot 2=24 $]]
Vastaus:
a) Viimeisellä rivillä on 52 istuinta.
b) Kolmannella rivillä on 24 istuinta.
Esimerkki 5
Ratkaisu:
[[$ \begin{align}d&=1-0,4=0,6\\a_n&=a_1+(n-1) \cdot d\\a_n&=0,4+(n-1) \cdot 0,6= 0,4 + 0,6n-0,6=0,6n-0,2\end{align} $]]
[[$ \begin{align}S_n&=\frac{n \cdot(a_1+a_n)}{2}\\&=\frac{n(0,4+a_n)}{2}=20 & \parallel \cdot 2\\n(0,4 + a_n)&=40\end{align} $]]
Sijoitetaan yleisen jäsenen yhtälö summan lausekkeeseen:
[[$ \begin{align}n(0,4+0,6n-0,2)&=40\\n(0,2+0,6n)&=40\\0,2n+0,6n^2&=40\\0,6n^2+0,2n-40&=0\end{align} $]]
Yhtälö ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (käsitellään 2. kurssissa) tai kokeillaan eri [[$ n $]]:n arvoja yhtälöön ja saadaan [[$ n=8 $]].
Vastaus: Jäseniä tarvitaan lukujonosta 8.
