Esimerkki 5
Aritmeettinen lukujono on 0,4; 1; 1,6... Kuinka monta jäsentä pitää ottaa, jotta niiden summaksi saadaan 20?
Ratkaisu:
[[$ \begin{align}d&=1-0,4=0,6\\a_n&=a_1+(n-1) \cdot d\\a_n&=0,4+(n-1) \cdot 0,6= 0,4 + 0,6n-0,6=0,6n-0,2\end{align} $]]
[[$ \begin{align}S_n&=\frac{n \cdot(a_1+a_n)}{2}\\&=\frac{n(0,4+a_n)}{2}=20 & \parallel \cdot 2\\n(0,4 + a_n)&=40\end{align} $]]
Sijoitetaan yleisen jäsenen yhtälö summan lausekkeeseen:
[[$ \begin{align}n(0,4+0,6n-0,2)&=40\\n(0,2+0,6n)&=40\\0,2n+0,6n^2&=40\\0,6n^2+0,2n-40&=0\end{align} $]]
Yhtälö ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (käsitellään 2. kurssissa) tai kokeillaan eri [[$ n $]]:n arvoja yhtälöön ja saadaan [[$ n=8 $]].
Vastaus: Jäseniä tarvitaan lukujonosta 8.
Ratkaisu:
[[$ \begin{align}d&=1-0,4=0,6\\a_n&=a_1+(n-1) \cdot d\\a_n&=0,4+(n-1) \cdot 0,6= 0,4 + 0,6n-0,6=0,6n-0,2\end{align} $]]
[[$ \begin{align}S_n&=\frac{n \cdot(a_1+a_n)}{2}\\&=\frac{n(0,4+a_n)}{2}=20 & \parallel \cdot 2\\n(0,4 + a_n)&=40\end{align} $]]
Sijoitetaan yleisen jäsenen yhtälö summan lausekkeeseen:
[[$ \begin{align}n(0,4+0,6n-0,2)&=40\\n(0,2+0,6n)&=40\\0,2n+0,6n^2&=40\\0,6n^2+0,2n-40&=0\end{align} $]]
Yhtälö ratkaistaan toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla (käsitellään 2. kurssissa) tai kokeillaan eri [[$ n $]]:n arvoja yhtälöön ja saadaan [[$ n=8 $]].
Vastaus: Jäseniä tarvitaan lukujonosta 8.