2. Yhdistetyn funktion integrointi
Potenssifunktion integrointi yleisesti
Derivoi seuraavat funktiot f ja g.
[[$a.\ \ f\left(x\right)=\left(2x^2+x\right)^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b.\ \ g\left(x\right)=e^{x^2-1}$]]
[[$f'\left(x\right)=4\left(2x^2+x\right)^3\cdot\left(4x+1\right)$]]
Kääntäen
[[$\int_{ }^{ }f'\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }4\left(2x^2+x\right)^3\left(4x+1\right)dx=\left(2x^2+x\right)^4+c$]]
[[$Yhdistetyssä\ funktiossa\ f\ \circ\ g=f\left(g\left(x\right)\right)\ \ funktio\ f\ on\ ulko-\ ja\ g\ on\ sisäfunktio$]]
Yhdistetyn funktio derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo eli
[[$Df\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)\ \ $]]
Kääntäen
[[$\int_{ }^{ }f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx\left(=\int_{ }^{ }g'\left(x\right)\cdot f'\left(g\left(x\right)\right)dx\right)=f\left(g\left(x\right)\right)+c$]]
HUOM!
Integroitavassa lausekkeessa on sisäfunktion derivaatan g'(x) oltava tekijänä mukana, mutta integroitaessa se "häviää".
Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(4x-2\right)^5dx$]]
Ulkofunktio on potenssifunktio, joten käytetään potenssifunktion integroimissääntöä. Nyt täytyy huomioida mikä on sisäfunktio ja SEN DERIVAATTA eli nyt sisäfunktio on 4x-2 ja sen derivaatta on 4.
Huomataan, että sisäfunktion derivaattaa 4 ei ole tekijänä integroitavassa potenssifunktiossa ⇒ joudutaan laventamaan luvulla 4
[[$\frac{4}{4}=\frac{1}{4}\cdot4$]]
[[$\int_{ }^{ }\frac{1}{4}\cdot4\cdot\left(4x-2\right)^5\ dx=\frac{1}{4}\int_{ }^{ }4\left(4x-2\right)^5\ dx\ \ $]]
(kerroin 1/4 siirretään vakiotekijän siirtosäännön perusteella integraalimerkin eteen)
[[$=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\left(4x-2\right)^6+c=\frac{1}{24}\left(4x-2\right)^6+c$]]
[[$Terkistus:\ D\left(\frac{1}{24}\left(4x-2\right)^6\right)=\frac{1}{24}\cdot6\cdot\left(4x-2\right)^5\cdot4=\left(4x-2\right)^5$]]
b)
[[$\int_{ }^{ }\frac{3x}{\left(2x^2-1\right)^2}dx=\int_{ }^{ }3x\cdot\left(2x^2-1\right)^{-2}dx$]]
Integroitavana on potenssifunktio, jossa eksponentti n = -2. Nyt sisäfunktion derivaatta on 4x, joka sisältää muuttujan x.
Tämä x on jo valmiina tekijänä integroitavassa.
Siirretään tekijä 3 integraalimerkin eteen
[[$=3\int_{ }^{ }x\left(2x^2-1\right)^{-2}dx\ \ \left(nyt\ lavennetaan\ luvulla\ 4\ eli\ \frac{1}{4}\cdot4\right)$]]
[[$=3\cdot\frac{1}{4}\int_{ }^{ }4x\left(2x^2-1\right)^{-2}dx=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{-1}\left(2x^2-1\right)^{-1}+c=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\left(2x^2-1\right)^1}+c=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2x^2-1}+c$]]
Kotitehtävät: 201 - 203
[[$a.\ \ f\left(x\right)=\left(2x^2+x\right)^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b.\ \ g\left(x\right)=e^{x^2-1}$]]
[[$f'\left(x\right)=4\left(2x^2+x\right)^3\cdot\left(4x+1\right)$]]
Kääntäen
[[$\int_{ }^{ }f'\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }4\left(2x^2+x\right)^3\left(4x+1\right)dx=\left(2x^2+x\right)^4+c$]]
[[$Yhdistetyssä\ funktiossa\ f\ \circ\ g=f\left(g\left(x\right)\right)\ \ funktio\ f\ on\ ulko-\ ja\ g\ on\ sisäfunktio$]]
Yhdistetyn funktio derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo eli
[[$Df\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)\ \ $]]
Kääntäen
[[$\int_{ }^{ }f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx\left(=\int_{ }^{ }g'\left(x\right)\cdot f'\left(g\left(x\right)\right)dx\right)=f\left(g\left(x\right)\right)+c$]]
HUOM!
Integroitavassa lausekkeessa on sisäfunktion derivaatan g'(x) oltava tekijänä mukana, mutta integroitaessa se "häviää".
Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(4x-2\right)^5dx$]]
Ulkofunktio on potenssifunktio, joten käytetään potenssifunktion integroimissääntöä. Nyt täytyy huomioida mikä on sisäfunktio ja SEN DERIVAATTA eli nyt sisäfunktio on 4x-2 ja sen derivaatta on 4.
Huomataan, että sisäfunktion derivaattaa 4 ei ole tekijänä integroitavassa potenssifunktiossa ⇒ joudutaan laventamaan luvulla 4
[[$\frac{4}{4}=\frac{1}{4}\cdot4$]]
[[$\int_{ }^{ }\frac{1}{4}\cdot4\cdot\left(4x-2\right)^5\ dx=\frac{1}{4}\int_{ }^{ }4\left(4x-2\right)^5\ dx\ \ $]]
(kerroin 1/4 siirretään vakiotekijän siirtosäännön perusteella integraalimerkin eteen)
[[$=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\left(4x-2\right)^6+c=\frac{1}{24}\left(4x-2\right)^6+c$]]
[[$Terkistus:\ D\left(\frac{1}{24}\left(4x-2\right)^6\right)=\frac{1}{24}\cdot6\cdot\left(4x-2\right)^5\cdot4=\left(4x-2\right)^5$]]
b)
[[$\int_{ }^{ }\frac{3x}{\left(2x^2-1\right)^2}dx=\int_{ }^{ }3x\cdot\left(2x^2-1\right)^{-2}dx$]]
Integroitavana on potenssifunktio, jossa eksponentti n = -2. Nyt sisäfunktion derivaatta on 4x, joka sisältää muuttujan x.
Tämä x on jo valmiina tekijänä integroitavassa.
Siirretään tekijä 3 integraalimerkin eteen
[[$=3\int_{ }^{ }x\left(2x^2-1\right)^{-2}dx\ \ \left(nyt\ lavennetaan\ luvulla\ 4\ eli\ \frac{1}{4}\cdot4\right)$]]
[[$=3\cdot\frac{1}{4}\int_{ }^{ }4x\left(2x^2-1\right)^{-2}dx=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{-1}\left(2x^2-1\right)^{-1}+c=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\left(2x^2-1\right)^1}+c=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2x^2-1}+c$]]
Kotitehtävät: 201 - 203
Kotitehtävät (23.2.): 208 - 211
Kotitehtävät (25.2.): 217, 218, 220
Kotitehtävät (25.2.): 217, 218, 220
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Eksponentti- ja trig. funktioiden integrointi
Derivoimissääntöjen avulla voidaan johtaa integroimissäännöt
[[$De^x=e^x\ \ \ \Rightarrow\ \ \int_{ }^{ }e^x\ dx=e^x+c$]]
[[$D\sin x=\cos x\ \ \ \Rightarrow\ \ \int_{\ }^{ }\cos x\ dx=\sin x+c$]]
[[$D\cos x=-\sin x\ \ \Rightarrow\ \ \int_{ }^{ }\sin x\ dx=-\cos x+c$]]
[[$Yleisesti:\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot e^{f\left(x\right)}\ dx=e^{f\left(x\right)}+c$]]
[[$vastaavasti\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot\cos f\left(x\right)dx=\sin f\left(x\right)+c\ \ \ ja\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot\sin f\left(x\right)\ dx=-\cos f\left(x\right)+c$]]
Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(e^{3x}+2x\right)dx=\int_{ }^{ }e^{3x}dx+\int_{ }^{ }2x\ dx=\frac{1}{3}\int_{ }^{ }3\cdot e^{3x}\ dx+x^2$]]
[[$=\frac{1}{3}e^{3x}+x^2+c$]]
(eka termissä sisäfunktio on 3x, jonka derivaatta on 3)
b)
[[$\int_{ }^{ }\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\cos\left(2x\right)\right)dx$]]
eka termissä sisäfunktion derivaatta on -1 ja toka termissä 2
[[$=-\int_{ }^{ }\left(-1\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)dx+\frac{1}{2}\int_{ }^{ }2\cdot\cos\left(2x\right)dx$]]
[[$=-\left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)+\frac{1}{2}\sin\left(2x\right)+c$]]
Kotitehtävät (26.2.): 239, 242, 250
[[$De^x=e^x\ \ \ \Rightarrow\ \ \int_{ }^{ }e^x\ dx=e^x+c$]]
[[$D\sin x=\cos x\ \ \ \Rightarrow\ \ \int_{\ }^{ }\cos x\ dx=\sin x+c$]]
[[$D\cos x=-\sin x\ \ \Rightarrow\ \ \int_{ }^{ }\sin x\ dx=-\cos x+c$]]
[[$Yleisesti:\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot e^{f\left(x\right)}\ dx=e^{f\left(x\right)}+c$]]
[[$vastaavasti\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot\cos f\left(x\right)dx=\sin f\left(x\right)+c\ \ \ ja\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot\sin f\left(x\right)\ dx=-\cos f\left(x\right)+c$]]
Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(e^{3x}+2x\right)dx=\int_{ }^{ }e^{3x}dx+\int_{ }^{ }2x\ dx=\frac{1}{3}\int_{ }^{ }3\cdot e^{3x}\ dx+x^2$]]
[[$=\frac{1}{3}e^{3x}+x^2+c$]]
(eka termissä sisäfunktio on 3x, jonka derivaatta on 3)
b)
[[$\int_{ }^{ }\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\cos\left(2x\right)\right)dx$]]
eka termissä sisäfunktion derivaatta on -1 ja toka termissä 2
[[$=-\int_{ }^{ }\left(-1\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)dx+\frac{1}{2}\int_{ }^{ }2\cdot\cos\left(2x\right)dx$]]
[[$=-\left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)+\frac{1}{2}\sin\left(2x\right)+c$]]
Kotitehtävät (26.2.): 239, 242, 250
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.