Derivoimissääntöjen avulla voidaan johtaa integroimissäännöt
[[$De^x=e^x\ \ \ \Rightarrow\ \ \int_{ }^{ }e^x\ dx=e^x+c$]]
[[$D\sin x=\cos x\ \ \ \Rightarrow\ \ \int_{\ }^{ }\cos x\ dx=\sin x+c$]]
[[$D\cos x=-\sin x\ \ \Rightarrow\ \ \int_{ }^{ }\sin x\ dx=-\cos x+c$]]
[[$Yleisesti:\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot e^{f\left(x\right)}\ dx=e^{f\left(x\right)}+c$]]
[[$vastaavasti\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot\cos f\left(x\right)dx=\sin f\left(x\right)+c\ \ \ ja\ \int_{ }^{ }f'\left(x\right)\cdot\sin f\left(x\right)\ dx=-\cos f\left(x\right)+c$]]

Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(e^{3x}+2x\right)dx=\int_{ }^{ }e^{3x}dx+\int_{ }^{ }2x\ dx=\frac{1}{3}\int_{ }^{ }3\cdot e^{3x}\ dx+x^2$]]

[[$=\frac{1}{3}e^{3x}+x^2+c$]]
(eka termissä sisäfunktio on 3x, jonka derivaatta on 3)

b)

[[$\int_{ }^{ }\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\cos\left(2x\right)\right)dx$]]
eka termissä sisäfunktion derivaatta on -1 ja toka termissä 2
[[$=-\int_{ }^{ }\left(-1\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)dx+\frac{1}{2}\int_{ }^{ }2\cdot\cos\left(2x\right)dx$]]
[[$=-\left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)+\frac{1}{2}\sin\left(2x\right)+c$]]


Kotitehtävät (26.2.): 239, 242, 250