Derivoi seuraavat funktiot f ja g.
[[$a.\ \ f\left(x\right)=\left(2x^2+x\right)^4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b.\ \ g\left(x\right)=e^{x^2-1}$]]
[[$f'\left(x\right)=4\left(2x^2+x\right)^3\cdot\left(4x+1\right)$]]

Kääntäen

[[$\int_{ }^{ }f'\left(x\right)dx=\int_{ }^{ }4\left(2x^2+x\right)^3\left(4x+1\right)dx=\left(2x^2+x\right)^4+c$]]


[[$Yhdistetyssä\ funktiossa\ f\ \circ\ g=f\left(g\left(x\right)\right)\ \ funktio\ f\ on\ ulko-\ ja\ g\ on\ sisäfunktio$]]

Yhdistetyn funktio derivaatta on ulko- ja sisäfunktion derivaattojen tulo eli

[[$Df\left(g\left(x\right)\right)=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)\ \ $]]

Kääntäen
[[$\int_{ }^{ }f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)dx\left(=\int_{ }^{ }g'\left(x\right)\cdot f'\left(g\left(x\right)\right)dx\right)=f\left(g\left(x\right)\right)+c$]]

HUOM!
Integroitavassa lausekkeessa on sisäfunktion derivaatan g'(x) oltava tekijänä mukana, mutta integroitaessa se "häviää".


Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(4x-2\right)^5dx$]]
Ulkofunktio on potenssifunktio, joten käytetään potenssifunktion integroimissääntöä. Nyt täytyy huomioida mikä on sisäfunktio ja SEN DERIVAATTA eli nyt sisäfunktio on 4x-2 ja sen derivaatta on 4.
Huomataan, että sisäfunktion derivaattaa 4 ei ole tekijänä integroitavassa potenssifunktiossa ⇒ joudutaan laventamaan luvulla 4
[[$\frac{4}{4}=\frac{1}{4}\cdot4$]]
[[$\int_{ }^{ }\frac{1}{4}\cdot4\cdot\left(4x-2\right)^5\ dx=\frac{1}{4}\int_{ }^{ }4\left(4x-2\right)^5\ dx\ \ $]]
(kerroin 1/4 siirretään vakiotekijän siirtosäännön perusteella integraalimerkin eteen)

[[$=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\left(4x-2\right)^6+c=\frac{1}{24}\left(4x-2\right)^6+c$]]

[[$Terkistus:\ D\left(\frac{1}{24}\left(4x-2\right)^6\right)=\frac{1}{24}\cdot6\cdot\left(4x-2\right)^5\cdot4=\left(4x-2\right)^5$]]

b)

[[$\int_{ }^{ }\frac{3x}{\left(2x^2-1\right)^2}dx=\int_{ }^{ }3x\cdot\left(2x^2-1\right)^{-2}dx$]]
Integroitavana on potenssifunktio, jossa eksponentti n = -2. Nyt sisäfunktion derivaatta on 4x, joka sisältää muuttujan x.
Tämä x on jo valmiina tekijänä integroitavassa.
Siirretään tekijä 3 integraalimerkin eteen
[[$=3\int_{ }^{ }x\left(2x^2-1\right)^{-2}dx\ \ \left(nyt\ lavennetaan\ luvulla\ 4\ eli\ \frac{1}{4}\cdot4\right)$]]
[[$=3\cdot\frac{1}{4}\int_{ }^{ }4x\left(2x^2-1\right)^{-2}dx=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{-1}\left(2x^2-1\right)^{-1}+c=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\left(2x^2-1\right)^1}+c=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2x^2-1}+c$]]



Kotitehtävät: 201 - 203