1. Integraalifunktio

Integraalifunktion määritelmä

- Määritelmä

Funktio, jonka derivaattafunktio on f, on tämän funktion integraalifunktio F

Funktio F on funktion f integraalifunktio jos ja vain jos F '(x) = f(x)

(funktion f määrittelyjoukon jokaisessa pisteessä)

esimerkiksi funktiolla

$f\left(x\right)=2x-4\ on\ useita\ integraalifunktioita{,}\ kuten$

$x^2-4x{,}\ x^2-4x+2{,}\ x^2-4x\ -5{,}\ jne$

yleisesti funktion f(x) = 2x - 4 kaikki integraalifunktiot ovat muotoa

$x^2-4x+c{,}\ missä\ c\ =\ integroimisvakio$

$sillä\ D\left(x^2-4x+c\right)=2x-4$

- funktion f(x) integraalia merkitään (tai kun funktio f(x) integroidaan)

$\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+c$

F(x) on funktion f(x) jokin integraalifunktio ja F(x) + c on kaikki integraalifunktiot

esimerkiksi

$\int_{ }^{ }\left(3x^2-x+1\right)dx=x^3-\frac{1}{2}x^2+x+c{,}\ sillä$

$D\left(x^3-\frac{1}{2}x^2+x+c\right)=3x^2-\frac{1}{2}\cdot2x+1=3x^2-x+1$

- Integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita

$D\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx=f\left(x\right)\ \ ja\ \ \int_{ }^{ }Df\left(x\right)dx=f\left(x\right)\left(+c\right)$

Tehtäviä 101 eteenpäin

Polynomin integrointi

Koska integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita niin integroitaessa polynomia jokainen polynomin termi eli yhteenlaskettava voidaan integroida erikseen. Lisäksi tarvittaessa on mahdollista käyttää vakiotekijän siirtosääntöä.

$\int_{ }^{ }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx+\int_{ }^{ }g\left(x\right)dx$

$\int_{ }^{ }a\cdot f\left(x\right)dx=a\int_{ }^{ }f\left(x\right)dx\ \ \left(vakiotekijän\ a\ siirtosääntö\right)$
$Dx^n=n\cdot x^{n-1}{,}\ josta\ kääntäen\ \int_{ }^{ }n\cdot x^{n-1}dx=x^n+c$
$Voidaanko\ päätellä\ sääntö\ x^{n\ }integroimiseksi?$

$\int_{ }^{ }x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c{,}\ kun\ n\ne-1$
$Perustelu:\ D\left(\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c\right)=\frac{1}{n+1}\cdot\left(n+1\right)\cdot x^n+0=x^n$

Polynomin integroinnissa voidaan käyttää yllämainittuja sääntöjä, mutta voidaan myös käyttää käänteistä ajattelua eli minkä lausekkeen derivaatta on integroitava lauseke.

esim
Määritä

$\int_{ }^{ }\left(6x^4-3x^2-4x+1\right)dx=6\int_{ }^{ }x^4dx-x^3-4\int_{ }^{ }x^1dx-x$

$=6\cdot\frac{1}{5}x^5-x^3-4\cdot\frac{1}{2}x^2-x+c$

Kirjan tehtäviä alkaen tehtävästä 122

Kotitehtäviä: 129, 130, 131a, 133

Yleinen potenssifunktio

$Potenssifunktion\ x^n\ integrointi\ yleisesti$

Tapaus 1: kun n ≠ -1 niin

$\int_{ }^{ }x^ndx\ =\frac{1}{n+1}\cdot\ x^{n+1}+c=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$

Tämä sääntö on voimassa myös, kun n on negatiivinen kokonaisluku tai mikä tahansa murtoluku.

$Huom!\ \ \frac{1}{x^4}=x^{-4}\ \ tai\ \frac{2}{x^2}=2\cdot x^{-2}$

$Juurimuoto\ muutetaan\ murtopotenssiksi:\$
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}{,}\ \sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\ jne{,}\ yleisesti\ \sqrt[n]{x^p}=x^{\frac{p}{n}}$

Tapaus 2: kun n = -1

$nyt\ \int_{ }^{ }x^n\ dx=\int_{ }^{ }x^{-1}dx=\int_{ }^{ }\frac{1}{x}dx=\ln\left|x\right|+c{,}\ sillä\ D\ln x=\frac{1}{x}=x^{-1}$

Määritä

$\int_{ }^{ }\frac{x^3-2x+3}{x^2}dx$

b)
$\int_{ }^{ }\left(\sqrt[3]{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

Kotitehtävät: 151, 154 ja 155

Esimerkki yleisen potenssifunktion integrointiin

Määritä
a)
[[$\int_{ }^{ }\left(\frac{1}{x^2}+3\sqrt{x}\right)dx\ \ \ \left(molemmat\ muokataan\ muotoon\ x^n\right)$]]
[[$=\int_{ }^{ }\left(x^{-2}+3\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)dx=\frac{1}{-1}\cdot x^{-1}+3\cdot\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+c$]]
[[$=-\frac{1}{x}+2\sqrt{x^3}+c$]]
[[$Huom!\ kirjan\ vastauksissa\ \sqrt{x^3}\ on\ sievennetty\ muotoon\ x\sqrt{x}\left(=x^{\frac{3}{2}}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}\right)$]]

b)
[[$\int_{ }^{ }\frac{3x^3+2x^2-x}{x^2}dx=\int_{ }^{ }\left(\frac{3x^3}{x^2}+\frac{2x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}\right)dx$]]
[[$=\int_{ }^{ }\left(3x+2-\frac{1}{x}\right)dx=3\cdot\frac{1}{2}x^2+2x-\ln\left|x\right|+c$]]

Palauta vastaus

Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.