3. Määrätty integraali

Määrätty integraali

Määrätyn integraalin merkitseminen

Funktion f määrätty integraali välillä [a, b] on erotus F(b) - F(a), jossa F'(x) = f(x).

Tätä määrättyä integraalia merkitään

$\int_a^bf\left(x\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!a}^bF\left(x\right)\ \left(tässä\ f\ on\ integroitu{,}\ saatu\ F\right)$

$=F\left(b\right)-F\left(a\right)\ \left(tehdään\ sijoitukset\right)$
$Huom!\ Integroimisvakioksi\ voidaan\ tulkita\ c=0.\$
$Sijoituksessa\ c:t\ kumoutuvat\ joka\ tapauksessa.$

Esim

Määritä

$\int_0^3\left(x^2+1\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^3\left(\frac{1}{3}x^3+x\right)=\frac{1}{3}\cdot3^3+3-\left(0+0\right)=12$

Jos f(x) ≥ 0 välillä [a, b] niin määrätty integraali kuvaa sitä pinta-alaa, joka jää käyrän ja x-akselin väliin välillä [a, b]

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\sin2x\ dx=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}2\cdot\sin2x\ dx=\frac{1}{2}\bigg/_{\!\!\!\!\!{\frac{\pi}{3}}}^{\frac{\pi}{2}}-\cos2x$
$=-\frac{1}{2}\left(\cos\pi-\cos\ \frac{2\pi}{3}\right)\ \left(taulukkokirjasta\ katsotaan\ ko\sin in\ arvot\right)$
$=-\frac{1}{2}\left(-1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)=\frac{1}{4}$

Määritä

$\int_0^1e^x\left(e^x-1\right)^2dx\ \left(ulkof\ on\ potenssif{,}\ jonka\ sisäf\ derivaatta\ on\ e^x\right)$

tämä on valmiina tekijänä potenssif edessä

$=\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^1\frac{1}{3}\left(e^x-1\right)^3=\frac{1}{3}\left(e-1\right)^3-\frac{1}{3}\left(e^0-1\right)=\frac{1}{3}\left(e-1\right)^3\approx$

Määrätyn integraalin ominaisuuksia

1. Integroimisvälin jakaminen osiin

$\int_a^bf\left(x\right)dx=\int_a^cf\left(x\right)dx+\int_c^bf\left(x\right)dx\ \ {,}\ a\lt c\lt b$

$\int_a^b\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_a^bf\left(x\right)dx+\int_a^bg\left(x\right)dx$

Jos on samat integroimisrajat niin summan integrointia käytetään usein oikelta vasemmalle

$\int_{-1}^3\left(x-1\right)\left(x+1\right)dx-\int_{-1}^3\left(x-1\right)^2dx=$
$\int_{-1}^3\left(\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)\right)dx=\int_{-1}^3\left(2x-2\right)dx=\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^3x^2-2x=$