Täydellinen toisen asteen yhtälö

TOISEN ASTEEN YHTÄLÖT

Täydelliset 2. asteen yhtälöt ovat muotoa

$ax^2+bx\ +c=0$

Tätä yhtälöä sanotaan vaillinaiseksi, jos c = 0 tai b = 0 (tai b = c = 0)

Vaillinaiset 2. asteen yhtälöt

1. Kun c = 0

$Yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2+bx=0$

ratkaistaan ottamalla yhteinen tekijä x eli jakamalla tekijöihin ja käyttämällä tulon nollasääntöä

$x\left(ax+b\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ tai\ \ ax+b=0{,}\ josta\ x\ =-\frac{b}{a}$

2. Kun b = 0

$Yhtälö\ on\ muotoa\ ax^2+c=0$

$ratkaistaan\ aluksi\ x^2\ -suhteen:\ x^2=-\frac{c}{a}\ \ ja$
$otetaan\ neliöjuuri:\ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}{,}\ jos\ -\frac{c}{a}>0$

Huom! Vaillinaisia yhtälöitä ovat myös yhtälöt, jotka ovat esim muotoa

$\left(x-3\right)^2=4\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x-3=\pm2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=3\pm2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=5\ \ tai\ \ x=1$

Täydelliset 2. asteen yhtälöt

$ax^2+bx+c=0$

ratkaistaan joko ratkaisukaavalla

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

tai neliöksi täydentämällä (palataan myöhemmin)

Ratkaise yhtälö

$a.\ \ \ \ x^2-6x+5=0$

Käytetään ratkaisukaavaa

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

nyt a = 1, b = -6 ja c =5

$x=\frac{6\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2}$

$x=\frac{6+4}{2}=5\ \ tai\ \ x=\frac{6-4}{2}=1$

Huom! 2. asteen yhtälöitä voidaan tarvittaessa jakaa tai kertoa aluksi jollain luvulla

esim.

$100x^2-20x-60=0\ \ \parallel:20$

$5x^2-x-3=0$

tai jos yhtälössä on murtolukuja esim

$-\frac{2}{3}x^2+\frac{1}{6}x+1=0\ \parallel\cdot6$

$-4x^2+x+6=0$

(a=-4, b=1 ja c=6)

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot\left(-4\right)\cdot6}}{2\cdot\left(-4\right)}=\frac{-1\pm\sqrt{97}}{\left(-8\right)}$
$x=\frac{-1+\sqrt{97}}{-8}\approx-1{,}1\ \ \ tai\ x=\frac{-1-\sqrt{97}}{-8}\approx1{,}4$

Kotitehtävät: 344 ja 345

Ratkaise yhtälö

a)

$x^2-2x-3=0$

b)

$\left(x+1\right)^2=4x+3$

Kotitehtävät: 351, 353 ja 354