Tehtävät

Kertaus

K6
Autoon kohtistuvien voimien summa on tukivoiman ja painon summa
$\Sigma\overline{F}=\overline{N}+\overline{G}$
Koska auto on ilmassa, siihen ei enää vaikuttaa tukivoimaa, tällöin tukivoima $\overline{N}=0$
Newtonin II laen mukaan autoon kohtistuvien voimien summa on kappaleen massa ja kiihtyvyyden tull, eli
$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$
Valitaan kiihtyvyyden ja painovoiman suunta positiiviseksi, saadaan skalaari yhtälö
$G=ma_n$
koska $G=mg$
$mg=ma_n\ \ \ \ \ \left|\right|:m$
$g=a_n$
Kun $a_n=\frac{v^2}{r}$
$g=\frac{v^2}{r}$
$g=9{,}81\ \frac{m}{s^2}$

$r=45m$

$v=?$

$g=\frac{v^2}{r}\ \leftrightarrow\ v=\sqrt[]{gr}=\sqrt[]{9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot45m}=21{,}0107...\approx21{,}01\frac{m}{s}$

$21{,}01\ \frac{m}{s}\cdot3{,}6=75{,}636\ \frac{km}{h}\approx76\ \frac{km}{h}$

K9

Voidaan käyttää Newtonin gravitaatiovoiman kaava

$F=\ \gamma\frac{m_1m_2}{r^2}=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{1200kg\cdot1600kg}{2{,}5^2m}=2{,}05033816\cdot10^{-5}\ N\approx2{,}1\cdot10^{-5}N$

Newtonin toisen lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ . Koska gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\frac{m_1m_2}{r^2}$ , normaalikiihtyvyyden suurus on $\overline{a}_n=m\cdot\frac{v^2}{r}$ ja ilmanvastus pieni, saadaan yhtälö

$\gamma\frac{mM}{\left(2R\right)^2}=m\frac{v^2}{2R}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$

$\gamma\frac{M}{\left(2R\right)^2}=\frac{v^2}{2R}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot2R$

$\gamma\frac{M}{2R}=v^2\$ , jossa R on Maan säde

Nopeus on

$\gamma\frac{M}{2R}=v^2\ \ \leftrightarrow\ v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{2R}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{2\cdot6378.140\cdot10^6m}=}5590{,}833...\ \frac{m}{s}\approx5{,}59\ \frac{km}{s}$

K11

Gravitaatiokent'n voimakkuus saadaan kaavasta

$g\mathrm{_{Planeetta}}=\frac{\gamma m\mathrm{_{Planeetta}}}{r_{\mathrm{Planeetta}}^2}=\frac{\gamma100M}{\left(10R\right)^2}=\frac{\gamma100M}{100R^2}=\frac{\gamma M}{R^2}=\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{\left(6378{,}140\cdot10^3m\right)^2}=9{,}8012...\approx9.80\ \frac{m}{s^2}$

K12

Newtonin II lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ , koska gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\frac{m_1m_2}{r^2}$ , normaalikiihtyvyyden suuruus on $\overline{a}_n=\frac{v^2}{r}$ ja ilmavastus on pieni, voidaan muodosta yhtälö

$\gamma\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$

$\frac{\gamma M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot r$
$\frac{\gamma M}{r}=v^2\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot r$
$\gamma M=rv^2\ \ \ \ \ \left|\right|:\gamma$ , jossa M on Auringon massa

Auringon massa on
$M=\frac{rv^2}{\gamma}=\frac{227{,}9\cdot10^9m\cdot\left(24130\ \frac{m}{s}\right)^2}{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}}=1{,}98818...\cdot10^{30}kg\approx1{,}988\cdot10^{30}kg$

K15
a)

Jaksoaika:

$T=\frac{32}{13}s=2{,}461538462s\approx2{,}5s$

Taajuus:

$f=\frac{1}{2{,}461538462s}=0{,}40625\approx0{,}41\mathrm{Hz}$

Jaksoaika:
$T=\frac{60}{157}s=0{,}3821656051s\approx0{,}38s$
Taajuus:
$f=\frac{1}{0{,}3821656051s}=2{,}616...\approx2{,}6\mathrm{Hz}$

Kpl.15

15-2

Ihmisen kuuloalue kuvaajan mukaan 100 dB:n intensitettitasoa vastaa intensiteetti

$I=10^{-6}\ \frac{W}{m^2}$

Äänen teho saadan kaavalla

$I=\frac{P}{A}\ \leftrightarrow\ P=IA=10^{-6}\ \frac{W}{m^2}\cdot\pi\cdot\left(\frac{0{,}00844m}{2}\right)^2=5{,}5417...\cdot10^{-11}=5{,}5\cdot10^{-11}W$

15-4

Jos ääni etenee vapaasti kaikkii suuntiin, on kahdella etäisyydellä $r_1$ ja $r_2$ mitattujen intensiteettien suhde on

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\$

Tehtävässä pitää laskea mikä on se toinen etäisyys, eli $r_2$ , joten muutetaan alkuperäisen kaavan tehää muotoon

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\ \ \leftrightarrow\ r_2=\sqrt[]{\left(r_1^2\cdot\frac{I_1}{I_2}\right)}=\sqrt[]{12^2m\cdot\ \frac{10^{-4}\ \frac{W}{m^2}}{1{,}0\ \frac{W}{m^2}}}=0{,}12m$

15-6

$I_0=10^{-12}\ \frac{W}{m^2}$

$10I_0=10\cdot10^{-12}\ \frac{W}{m^2}=10^{-11}\ \frac{W}{m^2}$

$100I_0=10^2I_0=10^2\cdot10^{-12}\frac{W}{m^2}=10^{-10}\ \frac{W}{m^2}$

Laketaan äänen intensiteettitasoa kaavalla

$L=10dB\cdot\log\frac{I}{I_0}$

$L_1=10dB\cdot\log\frac{10^{-12}\ \frac{W}{m^2}}{10^{-12}\ \frac{W}{m^2}}=10dB\cdot0=0dB$
$L_2=10dB\cdot\log\frac{10^{-11}\ \frac{W}{m^2}}{10^{-12}\ \frac{W}{m^2}}=10dB\cdot1=10dB$
$L_3=10dB\cdot\log\frac{10^{-10}\ \frac{W}{m^2}}{10^{-12}\ \frac{W}{m^2}}=10dB\cdot2=20dB$

15-7

(MAOL s.91) Ihmisen kuuloalue kuvaajan mukaan 100 dB:n intensitettitasoa vastaa intensiteetti

$I=10^{-2}\ \frac{W}{m^2}$

Kymmenen lehtipuhaltimen äänen intensiteettitaso on

$I_{10}=10\cdot10^{-2}\ \frac{W}{m^2}=10^{-1}\ \frac{W}{m^2}$

jaintensiteettitaso on
$L=10dB\cdot\log\frac{I_{10}}{I_0}=10dB\cdot\log\frac{10^{-1}\ \frac{W}{m^2}}{10^{-12}\ \frac{W}{m^2}}=10dB\cdot\log10^{11}=10dB\cdot11=110dB$

15-9

(MAOL s.91) Ihmisen kuuloalue kuvaajan mukaan 120 dB:n intensiteettitasoa vastaa intensiteetti

$I_1=10^0\ \frac{W}{m^2}$

ja 130 Hz:n intensiteettitasoa vastaa intensiteetti

$I_2\approx10^{-9}\ \frac{W}{m^2}$

Jos ääni etenee vapaasti kaikkii suuntiin, on kahdella etäisyydellä $r_1$ ja $r_2$ mitattujen intensiteettien suhde on

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\$
Tehtävässä pitää laskea mikä on se toinen etäisyys, eli $r_2$ , joten muutetaan alkuperäisen kaavan tehää muotoon
$\frac{I_1}{I_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}\ \leftrightarrow\ r_2=\sqrt[]{\left(r_1^2\cdot\frac{I_2}{I_1}\right)}=\sqrt[]{1^2m\cdot\frac{10^0\ \frac{W}{m^2}}{10^{-9}\ \frac{W}{m^2}}}=31622{,}7766m=31{,}6227766km\approx32km$

Kpl.14

14-1

Huilun sävel riippuu siitä ulottuvan äänen taajuudesta

Taajuutta voidaan saada kaavalla

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}$

Poikkihuiluun syntyvän perussävelen taajuudeksi saadaan

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{2L}$

Klarinettiin syntyvän perussävelen taajudeksi saadaan
$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{4L}$

Koska poikkihuiluun syntyvän perussävelen taajuus on pienempi, tällöin ääniaallot ovat asetettu tiheämmin, näin ollen poikkihuiluun syntyvän perussävelen on korkeampi.

14-3

$v=343\ \frac{m}{s}\left(\mathrm{äänennopeus\ huonelämmössä\ }\right)$

$f=69{,}3Hz$
$\lambda=?$
Aallonpituutta voidaan laskea kaavalla

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda=\frac{v}{f}=\frac{343\ \frac{m}{s}}{69{,}3\ Hz}=4{,}94949...\approx4{,}9495m$

Koska bassoklarinetti on puoleksi suljettu putki, sen pituus on lambdan kanssa suhteessa

$L=\frac{1}{4}\lambda\ \leftrightarrow\ L=\frac{\lambda}{4}=\frac{4{,}9495}{4}=1{,}237...\approx1{,}24m$

14-4

$L=124cm=1{,}24m$

$v=343\ \frac{m}{s}\left(\mathrm{äänennopeus\ huonelämmössä\ }\right)$

Perussävel:

$L=\frac{\lambda}{2}\ \leftrightarrow\ \lambda=2L=2\cdot1{,}24m=2{,}48m$
$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{343\ \frac{m}{s}}{2{,}48}=138{,}3...\approx138\ Hz$

Ensimmäinen yläsävel:

$L=\lambda\ =1{,}24m$

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{343\ \frac{m}{s}}{1{,}24}=276{,}6...\approx277Hz$

Perussävel:
Jos on toisesta päästä suljettu putki, aallonpituus olisi tällöin

$L=\frac{\lambda}{4}\ \leftrightarrow\ \lambda=4L=4\cdot1{,}24m=4.96m$

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{343\ \frac{m}{s}}{4{,}96}=69{,}15...\approx69{,}2Hz$

Ensimmäinen yläsävel:

Jos on toisesta päästä suljettu putki, aallonpituus olisi tällöin
$L=\frac{3\lambda}{4}\leftrightarrow\ \lambda=\frac{4L}{3}=\frac{4\cdot1{,}24m}{3}=1{,}65333....\approx1{,}6533m$

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{343\ \frac{m}{s}}{1{,}6533}=207{,}4...\approx207Hz$

14-5

$440{,}0Hz\pm2{,}00Hz$
$=442{,}0Hz$

tai

$=438{,}0Hz$

14-8

$v=340\ \frac{m}{s}$

$L=0{,}60m$

$L=0{,}60m=\frac{\lambda}{4}\ \leftrightarrow\ \lambda=4L=4\cdot0{,}60m=2{,}40m$

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{340\ \frac{m}{s}}{2{,}40}=141{,}66...\approx142Hz$

Jos pillissä on ilman sijasta heliumia, äänen nopeus olisi tällöin

$v=965\ \frac{m}{s}$

$L=0{,}60m=\frac{\lambda}{4}\ \leftrightarrow\ \lambda=4L=4\cdot0{,}60m=2{,}40m$
$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{965\ \frac{m}{s}}{2{,}40}=402{,}08...\approx402Hz$

Kpl.13

13-3

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda_1=\frac{v_1}{f}=\frac{340\ \frac{m}{s}}{1\ 000Hz}=0{,}34m$
$\lambda_2=\frac{v_2}{f}=\frac{260\ \frac{m}{s}}{1\ 000Hz}=0{,}26m$

$\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{0{,}34m}{0{,}26m}=\frac{17}{13}\approx1{,}3$
c)

$\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\ \leftrightarrow\ \sin\alpha_2=\frac{\sin\alpha_1\cdot\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{\sin45°\cdot0{,}26m}{0{,}34m}=0{,}54072...\approx0{,}5407$
$\sin^{-1}\left(0{,}5407\right)=32{,}731...\approx32{,}73°$
$45°-32{,}73°=12{,}27°\approx12°$

13-6

a) Sukellusveneen potkuri lähettää koko ajan 45 Hz:n ääntä, joten äänen taajuus ei muutu. Aaltoliikkeen perusyhtälö on v = fλ. Koska äänen nopeus v pienenee ja taajuus f ei muutu rajapinnan ylittämisen jälkeen, ääniaallon aallonpituuden λ täytyy pienentyä.

Koska äänen nopeus pienenee rajapinnan ylityksen jälkeen, ääniaaltojen etenemissuunta kääntyy normaaliin päin. Siten kokonaisheijastuminen ei ole mahdollinen. Näin ääniaallolle ovat mahdollisia kaikki tulokulman α1 arvot 0 ≤ α1 < 90°, ja ääni läpäisee veden ja ilman rajapinnan.

13-7

Äänen nopeus 20°C:ssa vedessä on 1484 m/s ja 343 m/s ilmassa (Maol)

Nopeuden kaavan mukaan

$v=\frac{s}{t}\ \leftrightarrow\ s=vt=1484\ \frac{m}{s\ }\cdot t$

$s=343\ \frac{m}{s}\ \cdot\left(t+8{,}0s\right)$

Koska etäisyys on sama, voidaan muodosta yhtälön

$1484\ \frac{m}{s}\cdot t=343\ \frac{m}{s}\cdot\left(t+8{,}0s\right)$

$t=t=2.4049...\approx2{,}405s$

$s=1484\ \frac{m}{s}\cdot2{,}405s=3569{,}02\approx3600m=3{,}6km$

13-9

$f=f_0\cdot\frac{v}{v-v_1}=405\ Hz\cdot\frac{343\ \frac{m}{s}}{343\ \frac{m}{s}-\frac{170\ \frac{km}{h}}{3{,}6}}=469{,}66...\approx470Hz$

$f=f_0\cdot\frac{v}{v-v_1}=405\ Hz\cdot\frac{343\ \frac{m}{s}}{343\ \frac{m}{s}+\frac{170\ \frac{km}{h}}{3{,}6}}=355{,}9894...\approx360Hz$
13-10

Kpl.12

12-2

$f=4{,}0Hz$

$v=6{,}4\ \frac{m}{s}$
$l=4{,}0m$

Lasketaan ensi mikä on aallonpituus

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda=\frac{v}{f}=\frac{6{,}4\ \frac{m}{s}}{4{,}0\ Hz}=1{,}6\ m$

Yhden kuvun pituus on yhtä kuin aallonpituuden puolikas, joten:

$\frac{4{,}0\ m}{\frac{1{,}6\ m}{2}}=5$

Kupuja on 5

Jos taajust olisi 3,2 Hz, uusi aallonpituus olisi

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda=\frac{v}{f}=\frac{6{,}4\ \frac{m}{s}}{3{,}2\ Hz}=2{,}0\ m$

ja yhden kuvun pituus olisi

$\frac{4{,}0\ m}{\frac{2{,}0\ m}{2}}=4$

Kupuja on 4

12-3

$\approx55cm\cdot2=110cm$

$l=\mathrm{Kuvun\ määrä}\cdot\frac{\lambda}{2}=2\cdot\frac{110\ cm}{2}=110cm$

$v=f\lambda=24Hz\cdot1{,}1m=26{,}4\ \frac{m}{s}$

12-5

$f=\frac{24}{10\ s}=2{,}4Hz$

$l=5{,}7m$

a) Kumiletkun toinen pää on kiinni seinässä ja toinen pää A jää paikalleen, joten molemmissa päissä on solmukohta. Lisäksi seinän ja pisteen A välissä on kaksi solmua. Solmukohtia on siis yhteensä 4 ja kupuja tulee 3.

Piirretään kuva tilanteeseta

$l=3\cdot\frac{\lambda}{2}=\frac{3}{2}\lambda$ . Ratkaistaan tästä aallonpistuus

$\lambda=\frac{2}{3}\cdot l=\frac{2}{3}\cdot5{,}7m\approx3{,}8m$

$v=f\lambda=2{,}4Hz\cdot3{,}8m\approx9{,}1\ \frac{m}{s}$

12-6

$f=52Hz$

2,5 aallonpituutta

0,47m

$v=f\lambda=52Hz\cdot0{,}47m=24{,}44\ \frac{m}{s}$

$\lambda=0{,}47m\cdot2=0{,}94m$

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{24{,}44\ \frac{m}{s}}{0{,}94\ m}=26\ Hz$

12-9

$l=\frac{\lambda}{2}\ \leftrightarrow\ \lambda=2l$

$v=f\lambda=f2l=82{,}4\ Hz\cdot2\cdot0{,}65m=107{,}12\ \frac{m}{s}$

Kielen perusvärähtelyssä on kaksi solmua ja yksi kupu, ensimmäisessä ylävärähtelyssä on kolme solmua ja kaksi kupua, joten toisessa on neljä solmua ja kolme kupua.

$l=\frac{5}{2}\lambda$
$\lambda=\frac{l}{\frac{5}{2}}=\frac{65cm}{2{,}5}=26\ cm$

12-11

a) Koska kiinnityskohdissa lanka ei pääse vapaasti värähtelemään, kiinnityskohtiin muodostuu solmut.

b) Perustaajuus $f=f_0$ vastaa yksinkertaisinta mahdollista seisovan aallon tilannetta. Silloin lankaan muodostuu yksi kupu ja molempiin päihin solmut. Langan pituus on aallonpituuden puolikas: l = λ/2, josta aallonpituudeksi saadaan λ = 2l = 2 ∙ 0,50 m = 1,0 m
c) Värähtelytaajuus on perustaajuuteen verrattuna 4-kertainen eli f = 4 ∙ f0. Lankaan muodostuu 4 aallonpituuden puolikasta ja siksi 4 kupua ja 5 solmua. Langan pituus on $l=4\cdot\frac{\lambda}{2}=2\lambda$ , jostaaallonpituudeksi saadaan $\lambda=\frac{l}{2}=\frac{50cm}{2}=25cm$

Kpl.11

11-1

A 3

11-2

a,c,d,f

11-4

Diffraktion takia vesiaalto on tapunut raon kohdalla, ja se taippuu suoraaallosta ympyrämuotoiseksi aalloksi.

11-8
1,0s

2,0s

3,0s

4,0s

11-10

a) Kun vesiaalto saappuu satama-altaaseen, aalto kimpaa diffraktion vaikutuksesta mereenpäin diffraktion ja tästä syntyy uusi aalto, ja satama-altaan raoista aallto pääsee siitä etenemään, tästäkin syntyy uusi aalto. Uusi aalto saattaa osua edellistä aaltoa, ja tämä on interferenssi.

Kpl.10

10-2

a) Kun aalto taittuu, taajuus ei muutu, koska aaltoliikkeen taajuus riippuu vain aallon lähteestä.

HUOM. Tajuu ei muutu myöskään aallon heijastuessa aineiden rajapinnasta.

b) Koska aalto taittuu normaaliin päin, aallon nopeus pienenee.

c) Koska aalto taittu normaaliin päin, aallon aallonpituus pienenee

HUOM. c-kohdan voi perusteella myös aaltoliikkeen perusyhtälön avulla

$v=f\lambda$

10-4

Taittumislaista $\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{v_1}{v_2}$ saadaan

$\sin\alpha_2=\frac{\sin\alpha_1\cdot v_2}{v_1}=\frac{\sin\left(58°\right)\cdot7100\ \frac{m}{s}}{14\ 100\ \frac{m}{s}}=0{,}427031...\approx0{,}427$
$\sin^{-1}\left(0{,}427\right)=25{,}277\approx25°$

Taittumislaista $\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{v_1}{v_2}$ saadaan

$\frac{v_1}{v_2}=\frac{10\ 100\ \frac{m}{s}}{11\ 200\ \frac{m}{s}}=0{,}9017...\approx0{,}902$
$\sin^{-1}\left(0{,}902\right)=64{,}422...\approx64°$

10-5

Koska taitesuhde on 1,9

$\frac{\sin15}{\sin\alpha_2}=1{,}9$

$\sin\alpha_2=\frac{\sin15}{1{,}9}=0{,}1362...\approx0{,}136$
$\alpha_2=7{,}816...\approx7{,}8°$

Taittumislaista $\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{v_1}{v_2}$ saadaan

$v_2=\frac{\sin\alpha_2v_1}{\sin\alpha_1}=\frac{\sin\left(7{,}8\right)25\ \frac{m}{s}}{\sin\left(15\right)}=13{,}109...\approx13\ \frac{m}{s}$

10-11

$\lambda_1=3{,}2cm=0{,}032m$
$\lambda_2=2{,}6cm=0{,}026m$
$\alpha_1=30°$ $v_1=7{,}1Hz$

Aaltoliikkeen perusyhtälön $v=f\lambda$ mukaan vesiaaltojen nopeus ennen estettä on $v_1=f\lambda_1=7{,}1Hz\cdot0{,}032m\approx0{,}23\ \frac{m}{s}$

Vesiaaltojen taajuuden määrää aaltolähde, joten taajuus on sama ennen estettä ja esteen päällä eli c)

$f=7{,}1Hz$ . Vesiaaltojen nopeus esteen päällä on $v_2=f\lambda_2=7{,}1Hz\cdot0{,}026m\approx0{,}18\ \frac{m}{s}$

Aaltoliikkeen taittumislaki

$\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{v_1}{v_2}$ saadaan muotoon

$\sin\alpha_2=\frac{v_2}{v_1}\cdot\sin\alpha_1=\frac{f\lambda_2}{f\lambda_1}\cdot\sin\alpha=\frac{0{,}026m}{0{,}032m}\cdot\sin60°$ , josta saadaan taitekulmaksi

$\alpha_2=45°$

Kpl.9

9-1

a) Ei muuttuu

b) Kaksinkertaistuu

c) Kun aallonpituus puolittuu, nopeuskin puolittuu

9-5

$\lambda=100-20=80cm$

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ f=\frac{v}{\lambda}=\frac{25\ \frac{cm}{s}}{80cm}=0{,}3125\ \approx0{,}31Hz$

$A=2{,}0cm$

9-6

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda=\frac{v}{f}=\frac{4{,}2\ \frac{m}{s}}{2{,}1\ Hz}=2{,}0m$

9-8

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda=\frac{v}{f}=\frac{8{,}0\ \frac{m}{s}}{4{,}0\ Hz}=2{,}0m$

$v=\frac{s}{t}\ \leftrightarrow\ t=\frac{2{,}0m}{8{,}0\ \frac{m}{s}}=0{,}25s$

$v=f\lambda\ \leftrightarrow\ \lambda=\frac{v}{f}=\frac{8{,}0\ \frac{m}{s}}{4{,}0\ Hz}=2{,}0m$

$\frac{0{,}25s}{2}=0{,}125\approx0{,}13s$

$v=\frac{s}{t}\ \leftrightarrow\ t=\frac{s}{v}=\frac{15{,}0m}{8{,}0\ \frac{m}{s}}=1{,}875\approx1{,}9s$

Kpl.8

8-4

880 kertaa

$\frac{32{,}4}{23}\approx1{,}4s$
$f=\frac{1}{T}=0{,}714...\approx0{,}71Hz$

8-5

$T=2\pi\sqrt[]{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt[]{\frac{0{,}17kg}{16\ \frac{N}{m}}}=0{,}6476...\approx0{,}65s$

8-6

Koska kappale on kiinnitetty jouseen, siihen kohdistuva voima F on suunta ylös ja painovoima G alas.

Newtonin II lain nojallla saadaan yhtälön $\Sigma\overline{F}=\overline{0}$ eli $\overline{F}+\overline{G}=\overline{0}$ . Koska $\overline{F}=-k\overline{x}$ , $-k\overline{x}+\overline{G}=\overline{0}$

Valitaan suunta alas positiiviseksi, koska sekä $\overline{x}$ että $\overline{G}$ ovat positiivisia

Yhtälö saadaan, muotoon

$-kx+mg=0$

$-kx=-mg$
$k=\frac{mg}{x}=\frac{0{,}350kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}{0{,}14m}=24{,}525\ \frac{N}{m}$

Värähtelyn jaksonaika saadaan kaavalla

$T=2\pi\sqrt[]{\frac{0{,}350kg}{24{,}525\ \frac{N}{m}}}=0{,}7506...\approx0{,}75s$

8-7

8-8

0,91Hz

Otetaan testipisteeksi pisteet (0,3;0,03) ja (0,2;-0,04)

$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-0{,}04-0{,}03}{0{,}2-0{,}3}=0{,}7$

$\approx0{,}7\ \frac{m}{s}$

$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{0{,}91}s$
$T=2\pi\sqrt[]{\frac{m}{k}}$
$\frac{T}{2\pi}=\sqrt[]{\frac{m}{k}}$
$\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=\frac{m}{k}$
$k=\frac{m}{\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2}=\frac{0{,}500kg}{\left(\frac{1{,}0989s}{2\pi}\right)^2}=16{,}346...\approx16{,}35\ \frac{N}{m}$

d) Kuvaajan kärkikohdassa.

8-10

0,67s

$2A\approx0{,}0544m$

$A=\frac{0{,}0544m}{2}=0{,}0272m\approx27{,}2cm$

$0{,}2404...\approx0{,}24\ \frac{m}{s}$

$0{,}08\ \frac{m}{s}$

$\approx1{,}94...\approx2{,}0\ \frac{m}{s^2}$

$\approx-0{,}369...\approx-0{,}37\ \frac{m}{s^2}$

Kpl.7

7-3

$k=\frac{F}{m}=\frac{5{,}0\ N}{0{,}02\ m}=250\ \frac{N}{m}$

$k=\frac{F}{m}\ \leftrightarrow\ m=\frac{F}{k}=\frac{15{,}0\ N}{250\ \frac{N}{m}}=0{,}06\ m=6{,}0\ cm$

$k=\frac{F}{m}\ \leftrightarrow\ m=\frac{F}{k}=\frac{22{,}0\ N}{250\ \frac{N}{m}}=0{,}088\ m=8{,}8\ cm$

7-5

Löysempi

Jäykämpi

Jousivoima $\overline{F}=-k\overline{x}$

Jousivoima ja poikkeama ovat vastakkaisuuntaisia, joten ottamalla suunnat huomioon ,saadaan $-F=-kx$ ja tästä saadaan jousivakioksi $k=\frac{F}{x}$

Kun jousi katkaistaan keskeltä, on venymä x/2. Tällöin $k_1=\frac{F}{\frac{x}{2}}\ \leftrightarrow\ 2k=\frac{F}{x}$

7-6

Jousta puristava voima on -1,7N. Jousivoima $\overline{F}$ ja puristava voima ovat yhtä suuret.Mutta vastakkaissuuntaiset, joten jousivoima on $F=1{,}7N$

Koska jousivoima $\overline{F}=-k\overline{x}$ , niin jousivakio on

$k=-\frac{\overline{F}}{x}=-\frac{1{,}7N}{-0{,}15m}\approx11{,}3333\ \frac{N}{m}$

Newtonin II-lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}$

Kun vaunu päästetään irti, vaikuttaa siihen tason suunnassa ainoastaan jousvoima, koska kitkaa ja ilmanvastusta ei oteta huomioon. (Pystysuunnassa vaunulla ei ole kiihtyvyyttä)

Näin ollen $\overline{F}=m\overline{a}$ . Kiihtyvyys on $\overline{a}=\frac{\overline{F}}{m}=\frac{-k\overline{x}}{m}$

a) Tasapainoasemassa x=0,00m, jousivoima on nolla, joten kiihtyvyys on $a=0{,}0\ \frac{m}{s^2}$

b) Hetki ennen vaunun irtipäästöä jousta puristava voima ja jousivoima ovat yhtä suuret ja vastakkaisuuntaiset. Vaunnu lähtee liikkeelle ääriasennosta ja sen kiihtyvyys ja jousivoima ovat samansuuntaiset. Vaunun kiihtyvyys on $a=\frac{F}{m}=\frac{1{,}7\ N}{0{,}76\ kg}\approx2{,}2\ \frac{m}{s^2}$

c) x=0,12m

Vaunu on ohttanut tasapainoaseman. Jousivoima suuntautuu kohti tasapainoasemaa. Vaunun kiihtyvyys on

$a=\frac{-k\overline{x}}{m}=\frac{-11{,}3333\ \frac{N}{m}\cdot0{,}12m}{0{,}76kg}\approx-1{,}8\ \frac{m}{s^2}$

Vaunu on kiihtyvässä liikkeessä kohti tasapainoasemaa tai hidastuvassa liikeessä alkuperäoseen positiiviseen liikesuuntaan nähden.

Kpl.6

6-1

Lasketaan avaruusaseman ratanopeus

Gravitaatiovuorovaikutus pitää sateliitin radallaan. Newtonin II lain mukaan on $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ , jossa gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyyden suuruus $a_n=\frac{v^2}{r}$ . Yhtälöstä $\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}=\frac{m_2v^2}{r}$ ratanopeudeksi saadaan

$\gamma\ \frac{mM}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot\frac{r}{m}$
$v^2=\frac{\gamma M}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[]{}$
$v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{r}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{410\ 000\ m+6\ 378\ 140\ m\ }}=7664{,}0693...\approx7664{,}07\ \frac{m}{s}$

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot420\ 000kg\cdot\left(7664{,}07\ \frac{m}{s}\right)^2=1{,}233...\cdot10^{13}\approx1{,}2\cdot10^{13}J$

$E_p=-\gamma\frac{mM}{r}=-6{,}67429\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{420\ 000kg\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{6\ 378\ 140\ m\ }$

6-2

m=satelliitin massa, M=Maan massa

r=Sateliitin etäisyys Maan keskipisteestä

Sateliitin liike-energia on $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ , missä v=satelliitin ratanopeus

Newtonin II-lain mukaan

$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$

Gravitaatiovuorovaikutus pitää satelliitin radallaan

Gravitaatiovoima on $F=\gamma\frac{mM}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyys on $a_n=\frac{v^2}{r}$

Ratkaistaan sateliitin ratanopeuden neliö yhtälöstä

$\gamma\ \frac{mM}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot\frac{r}{m}$

$\frac{\gamma M}{r}=v^2$

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\cdot\frac{\gamma M}{r}=\frac{\gamma mM}{2r}$

$\left[E_k\right]=\frac{\left[\gamma\right]\left[m\right]\left[M\right]}{\left[2\right]\left[r\right]}=\frac{1\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot1kg\cdot1kg}{1m}=1\cdot\frac{Nm^2}{m}=1Nm=1J$

6-4

a)
$W=E_{p{,}l}-E_{p{,}a}$
$W=\left(-\gamma\cdot\frac{mM}{r_2}\right)-\left(-\gamma\cdot\frac{mM}{r_1}\right)=-\gamma\cdot\frac{mM}{r_2}+\gamma\cdot\frac{mM}{r_1}=-\gamma mM\cdot\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)$
$W=-6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot3170kg\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg\cdot\left(\frac{1}{410\ km+6378{,}140\ km}-\frac{1}{6378{,}140\ km}\right)$

$W=11{,}9698GJ\approx12GJ$

$E_p=mgh=3170kg\cdot9{,}81\frac{m}{s^2}\cdot410km\approx12{,}7501GJ$

$\frac{12{,}7501GJ-11{,}9698GJ}{11{,}9678GJ}\approx6{,}5\%$

6-6
$E_{k{,}a}+E_{p{,}a}=E_{k{,}l}+E_{p{,}l}$
$\frac{1}{2}mv_a^2+\left(-\gamma\frac{mM}{r}\right)=\frac{1}{2}mv_l^2+\left(-\gamma\frac{mM}{rl}\right)$
$\frac{1}{2}mv_a^2+\left(-\gamma\frac{mM}{R}\right)=\ -\gamma\frac{mM}{r}$
$\frac{\gamma M}{r}=\frac{\gamma M}{R}-\frac{1}{2}v_a^2$
$r=\frac{\gamma M}{\frac{\gamma M}{R}-\frac{1}{2}v_a^2}=\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{NM^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{NM^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{6378\cdot10^3m}-\frac{1}{2}\cdot\left(8{,}5\cdot10^3\ \frac{m}{s}\right)^2=15\ 108\ 736m\approx15\ 108{,}7\ km}$

6-8
Kaikki oikein

Kpl.5

5-2

$a_n=\frac{v^2}{r}$

$v=29{,}78\ \frac{km}{s}=29780\ \frac{m}{s}$

$r=149{,}59787\cdot10^9m$

$a_n=\frac{\left(29780\ \frac{m}{s}\right)^2}{149{,}59787\cdot10^6km}=5{,}928...\cdot10^{-3}\approx5{,}93\cdot10^{-3}\ \frac{m}{s^2}$

$a_n=\frac{v^2}{r}$

$r=384\ 400km=384\ 400\ 000m$

$v=1{,}023\frac{km}{s}=1023\ \frac{m}{s}$

$a_n=\frac{\left(1023\ \frac{m}{s}\right)^2}{384\ 400\ 000m}=2{,}7225\cdot10^{-3}\ \frac{m}{s^2}$

5-4

Maan massa on $M=5{,}974\cdot10^{24}kg$

Kuun massa on $M=7{,}348\cdot10^{22}kg$

$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}$

Maan ja kuun keskietäisyys

$r=384\ 400\cdot10^3m$

a) Gravitaatiovuorovaikutus pitää Kuun Maata kiertävällä radalla, joka voidaan mallintaa ympyräratana

Newtonin II-lain mukaan

$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$

$F=\gamma\frac{Mm}{r^2}$ $a_n=\frac{v^2}{r}$

Sijoittaalla saadaan

$\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$

$\gamma\cdot\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot r$
$v^2=\frac{\gamma M}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[]{}$
$v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{r}}=1018{,}46\ \frac{m}{s}=1{,}018\ \frac{km}{s}$

b) Koska Kuu on ympyräradalla, yksi kierros on pituudeltaan 2πr.

Siten kierrtoaika on

$t=\frac{s}{v}=\frac{2\pi\cdot384400\cdot10^3m}{1019{,}46\ \frac{m}{s}}=2371479s$

5-5

Sateliitin kiertoaika planeetan ympäri on 7h39min=27540s

Sateliitin kiertoradan pituus on $2\pi r=2\pi\cdot9\ 370\ 000\ m=58{,}8734\cdot10^6m$ ja ratanopeus

$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{58{,}934\cdot10^6m}{27\ 540s}\approx2137{,}74\ \frac{m}{s}$

Gravitaatiovuorovaikutus pitää sateliitin radallaan . Newtonin II lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m_2\overline{a}$ , jossa gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyyden suuruus $a_n=\frac{v^2}{r}$ . Yhtälöstä $\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}=\frac{m_2v^2}{r}$ planeetan massaksi saadaan

$m_1=\frac{v^2r}{\gamma}=\frac{\left(2137{,}74\ \frac{m}{s}\right)^2\cdot9\ 370\ 000m}{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}}\approx6{,}42\cdot10^{23\ kg.}$

5-6

$v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{r}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{6378km+610km}}=7553{,}68\ \frac{m}{s}\approx7{,}6\ \frac{km}{s}$

b) kiertoaika Maan ympäri on

$t=\frac{s}{v}=\frac{2\pi\cdot\left(6378\cdot10^3m+610\cdot10^3m\right)}{7553{,}68\ \frac{m}{s}}=5812{,}65s\approx97\min$

c) Kulmanopeus on

$\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\frac{2\pi}{5812{,}65s}\approx1{,}1\cdot10^{-3}\ \frac{rad}{s}$

5-12

Epätosi

Tosi

Kpl.4

4-2
Vaikka astronautti tuntee itensä painottomaksi, häneen ja avaruusalukseen kohdistuu man vetovoima. sillä avanruusalus pysyy maata kiertävällä radalla. Eäisyys on kuitenkin sen verrean suuri, että avaruusalus ei putoa maahan ja sen verran pieni, ettei avaruusaluus leijaile ulkoavaruuteen.

4-5

$r_{maa}=6380km=6\ 380\ 000m$
$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$
$M=5{,}974\cdot10^{24}kg$

$g_{maa}=\gamma\frac{M}{r^2}=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{5{,}974\cdot10^{24}kg}{\left(6\ 380\ 000m\right)^2}=9{,}7955377...\approx9{,}80\ \frac{m}{s^2}$

$r_{+Mount\ Kenyan}=6\ 380\ 000m+5199m=6385199m$

$g_{maa}=\gamma\frac{M}{r^2}=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{5{,}974\cdot10^{24}kg}{\left(6385199m\right)^2}=9{,}779...\approx9{,}78\ \frac{m}{s^2}$

Pienenee

4-6

$\frac{F}{m}=g$
$g=9{,}766\ \frac{m}{s^2}$

$m=\frac{F}{g}=\frac{539{,}8N}{9{,}825\ \frac{m}{s^2}}=54{,}9414...\approx54{,}94kg$

$F_{Mexico}=mg=54{,}94kg\cdot9{,}766\ \frac{m}{s^2}=536{,}5584529...\approx536{,}56N$

53kg

4-8

$r=5{,}7km$
$\rho=9{,}2\cdot10^{17}\ \frac{kg}{m^3}$

$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$

Gravitaatiokentän voimakkuus neutronitähden pinnalla on

$g_{tähti}=\gamma\frac{M}{r^2}$

Tähden massa on $m=\rho V$

Oletetaan tähti pallon muotoiseksi, jolloin sen tilavuus on $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$g_{tähti}=\gamma\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi r^3}{r^2}=\gamma\cdot\rho\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi r=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot9{,}2\cdot10^{17}\ \frac{kg}{m^3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot5700m\approx1{,}5\cdot10^{12}\ \frac{m}{s^2}$

4-9
$g=a$
$g=9{,}80665\ \frac{m}{s^2}$

$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$

$r_{maa}=6380km=6\ 380\ 000m$

$M=5{,}974\cdot10^{24}kg$

$\frac{1}{2}g=4{,}903325\ \frac{m}{s^2}$
$g=\gamma\ \cdot\frac{M}{r^2}\ \leftrightarrow\ r=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{g}}$

$r=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{g}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{4{,}903325\ \frac{m}{s^2}}}=9017638{,}095m$

$9017638{,}095m-6\ 380\ 000m=2637638{,}095m\approx2637{,}638095km\approx2600km$

4-12
$g_r=\gamma\frac{M}{r^2}\ \leftrightarrow r=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{g_r}}$

Yksikkötarkastelu

$\left[r\right]=\sqrt[]{\frac{\left[\gamma\right]\left[M\right]}{\left[g\right]}}=\sqrt[]{\frac{1\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot1kg}{1\ \frac{m}{s^2}}}=\sqrt[]{\frac{1\ \frac{\mathrm{\frac{kgm}{s^2}\cdot m^2}}{kg^2}\cdot1kg}{1\ \frac{m}{s^2}}}=\sqrt[]{\frac{1\ \frac{m^2}{s^2}}{1\ \frac{m}{s^2}}}=\sqrt[]{1\ m^2}=1m$

Kpl.3

3-4

Ganymedes:n kiertoaika on x

$\frac{\left(1{,}8d\right)^2}{x^2}=\frac{\left(4\cdot10^8m\right)^3}{\left(11\cdot10^8m\right)^3}$
$\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11\cdot10^8m\right)^3=x^2\cdot\left(4\cdot10^8m\right)^3$
$x^2=\frac{\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11\cdot10^8m\right)^3}{\left(4\cdot10^8m\right)^3}$

$x^2=\frac{\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11m\right)^3}{\left(4m\right)^3}$

$x=\sqrt[]{\frac{\left(1{,}8d\right)^2\cdot\left(11m\right)^3}{\left(4m\right)^3}}$
$x=8{,}208...\approx8{,}2d$

3-6

a) Koska Maalla on suurempi massa

b) Koska Auringolla suurempi massa

3-9

$m_1=420g=0{,}42kg$

$m_2=0{,}059kg$

$r=2{,}0m$

$F=\gamma\cdot\frac{m_1m_2}{r^2}$
$F=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{0{,}42kg\cdot0{,}059kg}{\left(2{,}0m\right)^2}=4{,}134...\cdot10^{-13}\approx4{,}1\cdot10^{-13}N$

b)
Koska palloihin vaikuttaa ainoastaan gravitaatiovoima
$F=ma\ \leftrightarrow\ a=\frac{F}{m}=\frac{4{,}1\cdot10^{-13}N}{0{,}059g}=6{,}949...\cdot10^{-12}=7{,}0\cdot10^{-12}\ \frac{m}{s^2}$

3-12

Olkoon Maan ja Auringon välissä kappale, jonka massa on m.Kappale sijaitsee Maan ja Aurigon välissä kohdasssa, jossa vetovoimat ovat yhtä suuret. Olkoon x kysytty etäisyys Maan keskipisteestä lähtien.

Maan ja kappaleen välinen gravitaatiovoima on

$F_1=\gamma\frac{m_1m}{x^2}$

Auringon ja kappaleen välinen etäisyys on $r-x$ ja gravitaatiovoima on

$F_2=\gamma\ \frac{m_2m}{\left(r-x\right)^{^2}}$

Kappaleeseen vaikuttaa yhtä suuri Maan ja Auringon vetovoima eli $F_1=F_2$

Ratkaise Etäisyys x yhtälöllä

$\gamma\frac{m_1m}{x^2}=\gamma\frac{m_2m}{\left(r-x\right)^{^2}}\ \ \ \ \ \left|\right|:\gamma$

$\frac{m_1m}{x^2}=\frac{m_2m}{\left(r-x\right)^2}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$
$\frac{m_1}{x^2}=\frac{m_2}{\left(r-x\right)^2}$
$x=\frac{-\left(\sqrt[]{m_1m_2}-m_1\right)r}{m_1-m_2}$

Kpl.2

2-3

a) Gravitaati voima

b) Istuimen ketjujen jännitysvoima, kitka

c) Lepokitka

2-4

a) Tosi

b) Epätosi

c) Epätosi

2-5

$v=75\ \frac{km}{h}$

$r_1=320m=0{,}32km$

$r_2=550m=0{,}55km$

$a_{n_1}=\frac{v^2}{r_1}=\frac{75\ \frac{km}{h}}{0{,}32\ km}=17578{,}125$

$a_{n_2}=\frac{v^2}{r_2}=\frac{75\ \frac{km}{h}}{0{,}55\ km}=10227{,}27273\$

V: A:ssa on suurempi

2-6

$m=1200\ kg$

$r=22m=0{,}022km$
$v=18\ \frac{km}{h}=5\ \frac{m}{s}$

Koska ilmavastus on pieni, autoon vaikuttava kokonaisvoima on $\Sigma\overline{F}=\overline{G}+\overline{N}+\overline{F}_{\mu}$ . Koska pinta on vaakasuora, pinnan tukivoima $\overline{N}$ ja autoon kohdistuva paino $\overline{G}$ ovat yhtä suuret ja vastakkaisuunatiset, joten ne kumoavat toisensa. Kitka $F_{\mu}=\mu N=\mu mg$ pitää auton ympyräradalla. Newtonin II lain mukaan jään pinnan suunnassa on

$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ eli $\overline{F}_{\mu}=m\overline{a}_n$ . Koska sekä kitka että normaalikiihtyvyys suuntautuvat kohti ympyräradan keskipistettä, yhtälöstä $F_{\mu}=ma_n$ eli $\mu mg=m\frac{v^2}{r}$ saadaan kitkakertoimeksi

$\mu=\frac{v^2}{rg}=\frac{\left(5\ \frac{m}{s}\right)^2}{22m\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}=0{,}1158372718$

$F_{\mu}=\mu N=\mu mg=0{,}1158372718\cdot1200kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1363{,}636364...\approx1400N=1{,}4kN$

Pysyy, koska saattu kitka on suurempi kuin 1,4kN

2-9

$d=1{,}4m{,}\ r=0{,}7m$

$l=0{,}9m$
$m=0{,}200\ kg$

Oletetaan ilmanvastus pieneksi.

Koneeseen vaikuttavat voimat ovat langan jännitysvoima $\overline{T}$ ja paino $\overline{G}$

Langan jännitysvoiman vaakasuuntaan komponentti itä koneen ympyräradalla ja antaa sille normaalikiihtyvyyden $\overline{a}_n$

Newtonin II-lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$

y-suunnassa: $\Sigma\overline{F}=\overline{0}$ eli

$\overline{G}+\overline{T}_y=\overline{0}$

Paino ja langan jännitysvoima pusyusiinyaonen kompenentti ovat yhtä suuret ja vastakkaissuuntaiset, joten ne kumoavat toisensa.

x-suunnassa: $\overline{T}_x=m\overline{a}_n$

$T_x=ma_n$
$T_x=m\frac{v^2}{r}$
$rT_x=mv^2$
$\frac{rT_x}{m}=v^2$
$v=\pm\sqrt[]{\frac{rT_x}{m}}$ (hyl. neg. tulos)

Ratkaistaan $T_x$ suorakulmaisen kolmion trigonometrian avulla.

Ratkaistaan kulma α

$\cos\alpha=\frac{r}{l}=\frac{0{,}7m}{0{,}9m}$

$\alpha=38{,}94244...\approx38{,}9424°$

Suunnat huomioiden saadaan

$G=T_y$

$\tan\alpha=\frac{G}{T_x}$
$T_x=\frac{G}{\tan\alpha}=\frac{mg}{\tan\alpha}=\frac{0{,}200\ kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}{\tan\ 38{,}9424}=2{,}427854...\approx2{,}42785N$

$v=\sqrt[]{\frac{rT_x}{m}}=\sqrt[]{\frac{0{,}7\ m\cdot2{,}42785\ N}{0{,}200\ kg}}=2{,}9\ \frac{m}{s}$

2-10

Laskijan liikeyhtälö on $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ eli $\overline{N}+\overline{G}=m\overline{a}_n$

Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälöstä $N-G=\frac{mv^2}{r}$ rinteen tukivoiman suurudeksi alimmassa kohdassa saadaan

$N=\frac{mv^2}{r}+G=\frac{mv^2}{r}+mg=\frac{82\ kg\cdot\left(\frac{45}{3{,}6}\ \frac{m}{s}\right)^2}{22m}+82kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1386{,}806...\approx1400N=1{,}4kN$

Rinteestä laskijan jalkoihin kohdistuvan voiman suuruus on yhtä suuri kuin rinteen tukivoiman suuruus eli 1,4kN

Kpl.1

Esimerkki

a) Muunna asteiksi 1,2 rad

b) Muunna radiaaneiksi 185°

$2\pi\mathrm{\ rad}=360°$

$\pi\ \mathrm{rad}=180°$

$1\mathrm{\ rad}=\frac{180°}{\pi}$
$1{,}2\ \mathrm{rad}=1{,}2\cdot\frac{180°}{\pi}\approx69°$

$180°=\pi\ \mathrm{rad}\ \ \ \ \ \left|\right|:180°$

$1°=\frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot185°$
$185°=185\cdot\frac{\pi}{180}\approx3{,}2\ \mathrm{rad}$

1-1

$d=8{,}5cm$

$r=4{,}25\ cm$

$P=2\pi r=2\cdot\pi\cdot4{,}25cm=\frac{17}{2}\pi$

$15km=15000m=1500000cm$

$\frac{1500000\ cm}{\frac{17}{2}\pi\ cm}=56172{,}33...\approx56000\ \mathrm{kierrosta}$

1-2

$0{,}7\cdot\frac{180}{\pi}=40{,}10704...\approx40{,}11°$
$6{,}0\cdot\frac{180}{\pi}=343{,}7746...\approx343{,}77°$

$45\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}785...\approx0{,}79\ \mathrm{rad}$

$750\cdot\frac{\pi}{180}=13{,}0899...\approx13\ \mathrm{rad}$

1-5

$\frac{60s}{14\ 000\ rpm}=4{,}285...\cdot10^{-3}s\approx4{,}3\ ms$

1-6

a) Kiertokulma on $\varphi=90°=\frac{\pi}{2}\left(rad\right)$

Kiertokulma on ympyrän kaaren pituuden ja säteen suhde eli $\varphi=\frac{s}{r}$

$s=r\varphi=15m\cdot\frac{\pi}{2}\approx23{,}562\approx24\ m$

$s=r\varphi=7{,}5m\cdot\frac{\pi}{2}\approx11{,}78...\approx12\ m$

1-7

$N=1$

$\Delta t=10{,}8s$

$n=\frac{N}{\Delta t}=0{,}09259...\approx0{,}0926\frac{r}{s}$

$\Delta t=2\ \min=120\ s$

$\omega=2\pi n=2\pi\cdot0{,}09256\ \frac{r}{s}=0{,}581776...\approx0{,}582\ \mathrm{\frac{rad}{s}}$

$\varphi=\omega\Delta t=0{,}5817\ \frac{rad}{s}\cdot120s=69{,}813...\approx70\mathrm{\ rad}$

1-10

$\Delta t=7{,}0\ s$

$N=1$

$n=\frac{1}{7{,}0s}=0{,}1428...\approx0{,}143\ \frac{r}{s}$

$\omega=2\pi n=2\pi\cdot0{,}1428\ \frac{r}{s}=0{,}8975...\approx0{,}898\ \mathrm{\frac{rad}{s}}$

1-12

Kyllä, koska niiden liikeistä on mahdollista saada lireaarisen kuvaajan.

A, koska sen kuvaajan kuvaaja on jyrkempi (n. 13 rad/s)

$\omega_A=13{,}3333...\approx13{,}3\ \mathrm{\frac{rad}{s}}$

$\omega_B=5\ \mathrm{\frac{rad}{s}}$

$n_A=\frac{\omega_A}{2\pi}=2{,}12206...\approx2{,}12\ \frac{r}{s}$

$n_B=\frac{\omega_B}{2\pi}=0{,}79577..\approx0{,}80\ \frac{r}{s}$

$n=\frac{N}{t}\ \leftrightarrow\ t=\frac{N}{n}$

$t_A=\frac{3}{2{,}122\ \frac{r}{s}}=1{,}4137...\approx1{,}41\ s$

$t_B=\frac{3}{0{,}79577\ \frac{r}{s}}=3{,}76993...\approx3{,}77\ s$