Kpl.5

5-2

$a_n=\frac{v^2}{r}$

$v=29{,}78\ \frac{km}{s}=29780\ \frac{m}{s}$

$r=149{,}59787\cdot10^9m$

$a_n=\frac{\left(29780\ \frac{m}{s}\right)^2}{149{,}59787\cdot10^6km}=5{,}928...\cdot10^{-3}\approx5{,}93\cdot10^{-3}\ \frac{m}{s^2}$

$a_n=\frac{v^2}{r}$

$r=384\ 400km=384\ 400\ 000m$

$v=1{,}023\frac{km}{s}=1023\ \frac{m}{s}$

$a_n=\frac{\left(1023\ \frac{m}{s}\right)^2}{384\ 400\ 000m}=2{,}7225\cdot10^{-3}\ \frac{m}{s^2}$

5-4

Maan massa on $M=5{,}974\cdot10^{24}kg$

Kuun massa on $M=7{,}348\cdot10^{22}kg$

$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}$

Maan ja kuun keskietäisyys

$r=384\ 400\cdot10^3m$

a) Gravitaatiovuorovaikutus pitää Kuun Maata kiertävällä radalla, joka voidaan mallintaa ympyräratana

Newtonin II-lain mukaan

$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$

$F=\gamma\frac{Mm}{r^2}$ $a_n=\frac{v^2}{r}$

Sijoittaalla saadaan

$\gamma\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$

$\gamma\cdot\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot r$
$v^2=\frac{\gamma M}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[]{}$
$v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{r}}=1018{,}46\ \frac{m}{s}=1{,}018\ \frac{km}{s}$

b) Koska Kuu on ympyräradalla, yksi kierros on pituudeltaan 2πr.

Siten kierrtoaika on

$t=\frac{s}{v}=\frac{2\pi\cdot384400\cdot10^3m}{1019{,}46\ \frac{m}{s}}=2371479s$

5-5

Sateliitin kiertoaika planeetan ympäri on 7h39min=27540s

Sateliitin kiertoradan pituus on $2\pi r=2\pi\cdot9\ 370\ 000\ m=58{,}8734\cdot10^6m$ ja ratanopeus

$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{58{,}934\cdot10^6m}{27\ 540s}\approx2137{,}74\ \frac{m}{s}$

Gravitaatiovuorovaikutus pitää sateliitin radallaan . Newtonin II lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m_2\overline{a}$ , jossa gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyyden suuruus $a_n=\frac{v^2}{r}$ . Yhtälöstä $\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}=\frac{m_2v^2}{r}$ planeetan massaksi saadaan

$m_1=\frac{v^2r}{\gamma}=\frac{\left(2137{,}74\ \frac{m}{s}\right)^2\cdot9\ 370\ 000m}{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}}\approx6{,}42\cdot10^{23\ kg.}$

5-6

Gravitaatiovuorovaikutus pitää sateliitin radallaan. Newtonin II lain mukaan on $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ , jossa gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyyden suuruus $a_n=\frac{v^2}{r}$ . Yhtälöstä $\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}=\frac{m_2v^2}{r}$ ratanopeudeksi saadaan

$v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{r}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{6378km+610km}}=7553{,}68\ \frac{m}{s}\approx7{,}6\ \frac{km}{s}$

b) kiertoaika Maan ympäri on

$t=\frac{s}{v}=\frac{2\pi\cdot\left(6378\cdot10^3m+610\cdot10^3m\right)}{7553{,}68\ \frac{m}{s}}=5812{,}65s\approx97\min$

c) Kulmanopeus on

$\omega=\frac{\Delta\varphi}{\Delta t}=\frac{2\pi}{5812{,}65s}\approx1{,}1\cdot10^{-3}\ \frac{rad}{s}$

5-12

Epätosi

Tosi