Kertaus

K6
Autoon kohtistuvien voimien summa on tukivoiman ja painon summa
$\Sigma\overline{F}=\overline{N}+\overline{G}$
Koska auto on ilmassa, siihen ei enää vaikuttaa tukivoimaa, tällöin tukivoima $\overline{N}=0$
Newtonin II laen mukaan autoon kohtistuvien voimien summa on kappaleen massa ja kiihtyvyyden tull, eli
$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$
Valitaan kiihtyvyyden ja painovoiman suunta positiiviseksi, saadaan skalaari yhtälö
$G=ma_n$
koska $G=mg$
$mg=ma_n\ \ \ \ \ \left|\right|:m$
$g=a_n$
Kun $a_n=\frac{v^2}{r}$
$g=\frac{v^2}{r}$
$g=9{,}81\ \frac{m}{s^2}$

$r=45m$

$v=?$

$g=\frac{v^2}{r}\ \leftrightarrow\ v=\sqrt[]{gr}=\sqrt[]{9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot45m}=21{,}0107...\approx21{,}01\frac{m}{s}$

$21{,}01\ \frac{m}{s}\cdot3{,}6=75{,}636\ \frac{km}{h}\approx76\ \frac{km}{h}$

K9

Voidaan käyttää Newtonin gravitaatiovoiman kaava

$F=\ \gamma\frac{m_1m_2}{r^2}=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{1200kg\cdot1600kg}{2{,}5^2m}=2{,}05033816\cdot10^{-5}\ N\approx2{,}1\cdot10^{-5}N$

Newtonin toisen lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ . Koska gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\frac{m_1m_2}{r^2}$ , normaalikiihtyvyyden suurus on $\overline{a}_n=m\cdot\frac{v^2}{r}$ ja ilmanvastus pieni, saadaan yhtälö

$\gamma\frac{mM}{\left(2R\right)^2}=m\frac{v^2}{2R}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$

$\gamma\frac{M}{\left(2R\right)^2}=\frac{v^2}{2R}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot2R$

$\gamma\frac{M}{2R}=v^2\$ , jossa R on Maan säde

Nopeus on

$\gamma\frac{M}{2R}=v^2\ \ \leftrightarrow\ v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{2R}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{2\cdot6378.140\cdot10^6m}=}5590{,}833...\ \frac{m}{s}\approx5{,}59\ \frac{km}{s}$

K11

Gravitaatiokent'n voimakkuus saadaan kaavasta

$g\mathrm{_{Planeetta}}=\frac{\gamma m\mathrm{_{Planeetta}}}{r_{\mathrm{Planeetta}}^2}=\frac{\gamma100M}{\left(10R\right)^2}=\frac{\gamma100M}{100R^2}=\frac{\gamma M}{R^2}=\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{\left(6378{,}140\cdot10^3m\right)^2}=9{,}8012...\approx9.80\ \frac{m}{s^2}$

K12

Newtonin II lain mukaan $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ , koska gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\frac{m_1m_2}{r^2}$ , normaalikiihtyvyyden suuruus on $\overline{a}_n=\frac{v^2}{r}$ ja ilmavastus on pieni, voidaan muodosta yhtälö

$\gamma\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|:m$

$\frac{\gamma M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot r$
$\frac{\gamma M}{r}=v^2\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot r$
$\gamma M=rv^2\ \ \ \ \ \left|\right|:\gamma$ , jossa M on Auringon massa

Auringon massa on
$M=\frac{rv^2}{\gamma}=\frac{227{,}9\cdot10^9m\cdot\left(24130\ \frac{m}{s}\right)^2}{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}}=1{,}98818...\cdot10^{30}kg\approx1{,}988\cdot10^{30}kg$

K15
a)

Jaksoaika:

$T=\frac{32}{13}s=2{,}461538462s\approx2{,}5s$

Taajuus:

$f=\frac{1}{2{,}461538462s}=0{,}40625\approx0{,}41\mathrm{Hz}$

Jaksoaika:
$T=\frac{60}{157}s=0{,}3821656051s\approx0{,}38s$
Taajuus:
$f=\frac{1}{0{,}3821656051s}=2{,}616...\approx2{,}6\mathrm{Hz}$