Kpl.4

4-2
Vaikka astronautti tuntee itensä painottomaksi, häneen ja avaruusalukseen kohdistuu man vetovoima. sillä avanruusalus pysyy maata kiertävällä radalla. Eäisyys on kuitenkin sen verrean suuri, että avaruusalus ei putoa maahan ja sen verran pieni, ettei avaruusaluus leijaile ulkoavaruuteen.

4-5

$r_{maa}=6380km=6\ 380\ 000m$
$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$
$M=5{,}974\cdot10^{24}kg$

$g_{maa}=\gamma\frac{M}{r^2}=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{5{,}974\cdot10^{24}kg}{\left(6\ 380\ 000m\right)^2}=9{,}7955377...\approx9{,}80\ \frac{m}{s^2}$

$r_{+Mount\ Kenyan}=6\ 380\ 000m+5199m=6385199m$

$g_{maa}=\gamma\frac{M}{r^2}=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{5{,}974\cdot10^{24}kg}{\left(6385199m\right)^2}=9{,}779...\approx9{,}78\ \frac{m}{s^2}$

Pienenee

4-6

$\frac{F}{m}=g$
$g=9{,}766\ \frac{m}{s^2}$

$m=\frac{F}{g}=\frac{539{,}8N}{9{,}825\ \frac{m}{s^2}}=54{,}9414...\approx54{,}94kg$

$F_{Mexico}=mg=54{,}94kg\cdot9{,}766\ \frac{m}{s^2}=536{,}5584529...\approx536{,}56N$

53kg

4-8

$r=5{,}7km$
$\rho=9{,}2\cdot10^{17}\ \frac{kg}{m^3}$

$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$

Gravitaatiokentän voimakkuus neutronitähden pinnalla on

$g_{tähti}=\gamma\frac{M}{r^2}$

Tähden massa on $m=\rho V$

Oletetaan tähti pallon muotoiseksi, jolloin sen tilavuus on $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$g_{tähti}=\gamma\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi r^3}{r^2}=\gamma\cdot\rho\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi r=6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot9{,}2\cdot10^{17}\ \frac{kg}{m^3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot5700m\approx1{,}5\cdot10^{12}\ \frac{m}{s^2}$

4-9
$g=a$
$g=9{,}80665\ \frac{m}{s^2}$

$\gamma=6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$

$r_{maa}=6380km=6\ 380\ 000m$

$M=5{,}974\cdot10^{24}kg$

$\frac{1}{2}g=4{,}903325\ \frac{m}{s^2}$
$g=\gamma\ \cdot\frac{M}{r^2}\ \leftrightarrow\ r=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{g}}$

$r=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{g}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{4{,}903325\ \frac{m}{s^2}}}=9017638{,}095m$

$9017638{,}095m-6\ 380\ 000m=2637638{,}095m\approx2637{,}638095km\approx2600km$

4-12
$g_r=\gamma\frac{M}{r^2}\ \leftrightarrow r=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{g_r}}$

Yksikkötarkastelu

$\left[r\right]=\sqrt[]{\frac{\left[\gamma\right]\left[M\right]}{\left[g\right]}}=\sqrt[]{\frac{1\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot1kg}{1\ \frac{m}{s^2}}}=\sqrt[]{\frac{1\ \frac{\mathrm{\frac{kgm}{s^2}\cdot m^2}}{kg^2}\cdot1kg}{1\ \frac{m}{s^2}}}=\sqrt[]{\frac{1\ \frac{m^2}{s^2}}{1\ \frac{m}{s^2}}}=\sqrt[]{1\ m^2}=1m$