Kpl.6

6-1

Lasketaan avaruusaseman ratanopeus

Gravitaatiovuorovaikutus pitää sateliitin radallaan. Newtonin II lain mukaan on $\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$ , jossa gravitaatiovoiman suuruus on $F=\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyyden suuruus $a_n=\frac{v^2}{r}$ . Yhtälöstä $\gamma\ \frac{m_1m_2}{r^2}=\frac{m_2v^2}{r}$ ratanopeudeksi saadaan

$\gamma\ \frac{mM}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot\frac{r}{m}$
$v^2=\frac{\gamma M}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\sqrt[]{}$
$v=\sqrt[]{\frac{\gamma M}{r}}=\sqrt[]{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{410\ 000\ m+6\ 378\ 140\ m\ }}=7664{,}0693...\approx7664{,}07\ \frac{m}{s}$

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot420\ 000kg\cdot\left(7664{,}07\ \frac{m}{s}\right)^2=1{,}233...\cdot10^{13}\approx1{,}2\cdot10^{13}J$

$E_p=-\gamma\frac{mM}{r}=-6{,}67429\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot\frac{420\ 000kg\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{6\ 378\ 140\ m\ }$

6-2

m=satelliitin massa, M=Maan massa

r=Sateliitin etäisyys Maan keskipisteestä

Sateliitin liike-energia on $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ , missä v=satelliitin ratanopeus

Newtonin II-lain mukaan

$\Sigma\overline{F}=m\overline{a}_n$

Gravitaatiovuorovaikutus pitää satelliitin radallaan

Gravitaatiovoima on $F=\gamma\frac{mM}{r^2}$ ja normaalikiihtyvyys on $a_n=\frac{v^2}{r}$

Ratkaistaan sateliitin ratanopeuden neliö yhtälöstä

$\gamma\ \frac{mM}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot\frac{r}{m}$

$\frac{\gamma M}{r}=v^2$

$E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\cdot\frac{\gamma M}{r}=\frac{\gamma mM}{2r}$

$\left[E_k\right]=\frac{\left[\gamma\right]\left[m\right]\left[M\right]}{\left[2\right]\left[r\right]}=\frac{1\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot1kg\cdot1kg}{1m}=1\cdot\frac{Nm^2}{m}=1Nm=1J$

6-4

a)
$W=E_{p{,}l}-E_{p{,}a}$
$W=\left(-\gamma\cdot\frac{mM}{r_2}\right)-\left(-\gamma\cdot\frac{mM}{r_1}\right)=-\gamma\cdot\frac{mM}{r_2}+\gamma\cdot\frac{mM}{r_1}=-\gamma mM\cdot\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)$
$W=-6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}\cdot3170kg\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg\cdot\left(\frac{1}{410\ km+6378{,}140\ km}-\frac{1}{6378{,}140\ km}\right)$

$W=11{,}9698GJ\approx12GJ$

$E_p=mgh=3170kg\cdot9{,}81\frac{m}{s^2}\cdot410km\approx12{,}7501GJ$

$\frac{12{,}7501GJ-11{,}9698GJ}{11{,}9678GJ}\approx6{,}5\%$

6-6
$E_{k{,}a}+E_{p{,}a}=E_{k{,}l}+E_{p{,}l}$
$\frac{1}{2}mv_a^2+\left(-\gamma\frac{mM}{r}\right)=\frac{1}{2}mv_l^2+\left(-\gamma\frac{mM}{rl}\right)$
$\frac{1}{2}mv_a^2+\left(-\gamma\frac{mM}{R}\right)=\ -\gamma\frac{mM}{r}$
$\frac{\gamma M}{r}=\frac{\gamma M}{R}-\frac{1}{2}v_a^2$
$r=\frac{\gamma M}{\frac{\gamma M}{R}-\frac{1}{2}v_a^2}=\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{NM^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{\frac{6{,}67428\cdot10^{-11}\ \frac{NM^2}{kg^2}\cdot5{,}974\cdot10^{24}kg}{6378\cdot10^3m}-\frac{1}{2}\cdot\left(8{,}5\cdot10^3\ \frac{m}{s}\right)^2=15\ 108\ 736m\approx15\ 108{,}7\ km}$

6-8
Kaikki oikein