FY4S

Kpl.16

16-1
a) on
b) on
c) ei
d) ei
e) on

16-4
m_1=940kg
v_1=102\ \frac{km}{h}=\frac{102}{3{,}6}\ \frac{m}{s}
u_1=?
m_2=920kg
v_2=85\ \frac{km}{h}=\frac{85}{3{,}6\ }\ \frac{m}{s}
u_2=?
Koska autojen muodot muuttuvat, törmmäys on kimmoton, joten säilymislaki olisi tässä muodossa:
m_1\overline{v}_1+m_2\overline{v}_2=\left(m_1+m_2\right)\overline{u}
Sovitaan autojen alkuperäinen liikesuunta positiiviseksi, saadaan lause:
u=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{940kg\cdot\frac{102}{3{,}6}\ \frac{m}{s}+920kg\cdot\frac{85}{3{,}6}\ \frac{m}{s}}{940kg+920kg}=25{,}9976...\frac{m}{s}\left(^{\cdot3{,}6}\right)=93{,}591...\approx94\ \frac{km}{h}

16-5
m_1=?
v_1=2{,}5\ \frac{m}{s}
m_2=34kg
v_2=0\ \frac{m}{s}
u=1{,}5\ \frac{m}{s}
m_1\ v_1=\left(m_1+m_2\right)u
m_1v_1=m_1u+m_2u
m_1v_1-m_1u=m_2u
m_1\left(v_1-u\right)=m_2u
m_1=\frac{m_2u}{v_1-u}=\frac{34kg\cdot1{,}5\ \frac{m}{s}}{2{,}5\ \frac{m}{s}-1{,}5\ \frac{m}{s}}=51kg

16-8
a) Kappale A liikkuu alussa tasaisella nopeudella, sitten hetkessä 0,50s se törmää kappaleen B, sen jälkeen kappale A:n nopeus hidastuu, ja kappale alkaa siitä liikkumaan.
b) 
m_1=?
v_1=\frac{0{,}8m}{0{,}5s}=1{,}6\ \frac{m}{s}
u_1=\frac{0{,}2m}{0{,}5s}=0{,}4\ \frac{m}{s}
m_2=51g=0{,}051kg
v_2=0\ \frac{m}{s}
u_2=\frac{0{,}8m}{0{,}4s}=2{,}0\frac{m}{s}
m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\ \ \ \ \ \left|\right|koska\ v_2=0{,}\ m_2v_2=0
m_1v_1=m_1u_1+m_2u_2
m_1v_1-m_1u_1=m_2u_2

m_1\left(v_1-u_1\right)=m_2u_2
m_1=\frac{m_2u_2}{v_1-u_1}=\frac{0{,}051kg\cdot2{,}0\ \frac{m}{s}}{1{,}6\frac{m}{s}-0{,}4\ \frac{m}{s}}=0{,}085kg=85g

16-9

16-10
m_a=80kg
v_a=5{,}0\ \frac{m}{s}
u_a=1{,}45\ \frac{m}{s}

m_b=320kg
v_a=0\ \frac{m}{s}

h=?
Törmäyksen seurauksena paikallaan oleva vaunu b lähtee liikkumaan tasoa ylöspäin. aunun b saama liike.energia muuttuu potentiaalienergiaksi.
 
Sovitaan potentiaalienergian nolla tasoksi tason alaosa ja positiiviseksi liikesunnaksi vaunun a alkuperäinen liikesuunta (oikealle).
 
Liikemäärä säily, joten
m_a\overline{v}_a+m_b\overline{v}_b=m_a\overline{u}_a+m_b\overline{u}_a
m_a\overline{v}_a=m_a\overline{u}_a+m_b\overline{u}_b
Sunnat huomioiden saadaan 
m_av_a=-m_au_a+m_bu_b
Ratkaistaan vaunun b nopeus
m_bu_b=m_av_a+m_au_a
u_b=\frac{m_av_a+m_au_a}{m_b}=\frac{80kg\cdot5{,}0\ \frac{m}{s}+80kg\cdot1{,}45\ \frac{m}{s}}{320kg}=1{,}6125\ \frac{m}{s}
Vierimisvastus on merkityksetön, jote energia säilyy
E_k=E_p
\frac{1}{2}m_bu_b^2=m_bgh
\frac{1}{2}u_b^2=gh
h=\frac{\frac{1}{2}u_b^2}{g}=\frac{\frac{1}{2}\left(1{,}6125\ \frac{m}{s}\right)^2}{9{,}81\ \frac{m}{s^2}}\approx0{,}13m

Kpl.15

15-1
a)
\ \overline{p}=m\overline{v}=89kg\cdot8{,}9\ \frac{m}{s}=712Ns
b)
\overline{p}_1=\overline{p}_2
\overline{p}_1=712Ns
\overline{p}_2=m\overline{v}_2
m\overline{v}_2=712Ns
105kg\cdot\overline{v}_2=712Ns
\overline{v}_2=6{,}7809...\approx6{,}8\ \frac{m}{s}

15-2
Impulssien suuruudet saadaan kuvaajista graafisella integroinnilla eli arvioimalla kuvaajien ja t-akselin väliin jäävän pinnan fysikaalinen pintaala. Yhden ruudun fysikaalinen pinta-ala on 1 s · 1 N = 1 Ns. Molemmissa tapauksissa impulssin suuruudeksi saadaan noin 6 Ns. Impulssit eroavat siten, että a-tapauksessa vaikuttava voima on suurempi kuin btapauksessa, ja a-tapauksessa voiman vaikutusaika on pidempi kuin btapauksessa. Vaikka impulssit ovat yhtä suuret, voiman vaikutus ei aina ole samanlainen. Suurempi voima saattaa esimerkiksi rikkoa rakenteita, mutta pienempi voima ei, vaikka voimien impulssit olisivat yhtä suuret.

15-4
Mailan palloon kohdistavan voiman impulssi on yhtä suuri kuin pallon liikemäärän muutos:
\overline{F}\Delta t=m\Delta\overline{v}=m\overline{v}_2-m\overline{v}_1
Sovitaan voiman suunta positiiviseksi, jolloin pallon suunta ennen mailaan osumista on negatiivinen. Saadaan skalaariyhtälö\overline{F}\Delta t=\ m\Delta\overline{v}_2-m\left(-\overline{v}_1\right).
Maila vaikuttaa palloon voimalla
\overline{F}\Delta t=m\Delta\overline{v}=m\overline{v}_2-m\overline{v}_1
\overline{F}\Delta t=\ m\overline{v}_2-m\left(-\overline{v}_1\right)=m\left(v_2+v_1\right)
F=\frac{m\left(v_2+v_1\right)}{\Delta t}=\frac{0{,}057kg\cdot\left(30\ \frac{m}{s}+20\ \frac{m}{s}\right)}{0{,}020s}=142{,}5N\approx140N
Keskimääräisen voiman suuruus on 140 N ja suunta on vastakkainen pallon alkuperäiseen liikesuuntaan nähden.

15-5
v=?
m=36g=0{,}036kg
I=F\Delta t=\frac{1}{2}\left(110N\cdot0{,}045s\right)=2{,}475Ns
\overline{I}=\Delta\overline{p}=m\Delta\overline{v}
\Delta\overline{v}=\frac{I}{m}=\frac{2{,}475Ns}{0{,}036kg}=68{,}75\approx69\ \frac{m}{s}
15-7
m=65g=0{,}065kg
v_1=-25\ \frac{m}{s}
v_2=35\ \frac{m}{s}
\Delta t=4{,}0ms=0{,}004s
\overline{I}=\Delta\overline{p}
F\Delta t=m\Delta\overline{v}
F=\frac{m\Delta\overline{v}}{\Delta\overline{t}}
F=\frac{0{,}065kg\cdot\left(35\ \frac{m}{s}+25\ \frac{m}{s}\right)}{0{,}004s}=975N\approx980N=0{,}98kN

15-8
m=150g=0{,}15kg
h=1{,}0m
Impulssiperiaatteen mukaan pallon törmäyksessä vaikuttavan voiman impulssi on yhttä suuri kuin sen liikemäärän muuts eli
\overline{I}=\ \Delta\overline{p}=p_1-p_2
Pallon nopeus törmäyksen jälkeen on likimain sama kuin ennen törmäystä, joten pallon liikemäärä on yhtä suuri ennen ja jälkeen törmäyksen. Tosin suunat on eri.
Siis
p_l=-p_a, kun valiaan suunta ylös positiiviseksi suunnaksi
I=-p_a-p_a=-2p_a=-2\cdot m\left(-v_a\right)=2mv_a
Ratkaistaanv_aeli pallon nopeus sen osuessa energiaperiaatten aulla.
Valitaan nollatasoksi lattian taso. Tällöin pallon potentiaalienergia muuttuu pudotuksessa liike-energiaksi eli
E_p=E_k
mgh=\frac{1}{2}mv_a^2
2mgh=mv_a^2
2gh=v_a^2
v_a=\sqrt[]{2gh}
I=2mv_a=2\cdot0{,}15kg\cdot\sqrt[]{2\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot0{,}15kg}=1{,}328...\approx1{,}3Ns
15-9
 a)
F=0{,}38N
t=19ms=0{,}019s
m=2{,}5g=0{,}0025kg
\overline{I}=\Delta\overline{p}
I=Fs=0{,}38N\cdot0{,}019s=0{,}00722Ns
\Delta\overline{p}=m\Delta\overline{v}=mv_2-mv_1=m\left(v_2-0\right)
v_2=\frac{0{,}00722Ns}{2{,}5g}=2{,}888\ \frac{m}{s}mgh=\frac{1}{2}mv^2

Kpl.14

14-2

E_{p{,}a}+E_{k{,}a}=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
mgh=\frac{1}{2}mv^2
gh=\frac{1}{2}v^2
2gh=v^2
v=\sqrt[]{2gh}=\sqrt[]{2\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot25m}=22{,}147...\approx22\ \frac{m}{s}

14-4
a)
m=170g=0{,}17kg
v=85\ \frac{km}{h}=23{,}611...\approx\frac{m}{s}
E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot0{,}17kg\cdot23{,}611^2\ \frac{m}{s}=47{,}38...\approx47\ J
b)
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
mgh_a+\frac{1}{2}mv^2+Fs=mgh_l+\frac{1}{2}mv^2
\frac{1}{2}mv^2+Fs=0
F=-\frac{\frac{1}{2}mv^2}{s}=-0{,}1895...\approx-0{,}19N
14-5
a)
h_a=17m
h_l=0m
v_a=16\ \frac{km}{h}=4{,}444...\approx4{,}444\ \frac{m}{s}
v_l=?
m=85\ kg
W=-8{,}1\ kJ=-8100J
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+W=mgh_l+\frac{1}{2}mv_l^2
mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+W=\frac{1}{2}mv_l^2
2mgh_a+mv_a^2+2W=mv_l^2
v_l=\sqrt[]{\frac{mv_a^2+2\left(W+mgh_a\right)}{m}}=45{,}92009...\approx46\ \frac{km}{h}
b)

14-6
h_a=66m
h_l=0m
v_a=0
v_l=101\ \frac{km}{h}=\frac{101}{3{,}6}\ \frac{m}{s}
m=71\ kg
W=?
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
mgh_a+0+W=0+\frac{1}{2}mv_l^2
W=\frac{1}{2}mv_l^2-mgh_a=\frac{1}{2}\cdot71kg\cdot\left(\frac{101}{3{,}6}\right)^2-71kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot66m=-180287{,}10599J\approx-18000J=-18kJ

14-7
m=73\ kg
h_a=8{,}0\ m
v_a=2{,}5\ \frac{m}{s}
v_l=?
s=35\ m
F=-55N
Valitaan ,että mäen alla on potentiaalienergian nollataso eli h_l=0m
Liikettä vastustava voima muuttaa mekaanista energiaa lumen, lumilaudan ja ilman sisäenergiaksi.
Mekaniikan energianperiaatteen mukaan
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+Fs=mgh_l+\frac{1}{2}mv_l^2
mgh_a+\frac{1}{2}mv_a^2+Fs=\frac{1}{2}mv_l^2
v_l=\sqrt[]{\frac{2Fs+m\left(v_a^2+2gh_a\right)}{m}}
v_l=\sqrt[]{\frac{2\cdot\left(-55N\right)\cdot35m+73kg\left(\left(2{,}5\ \frac{m}{s}\right)^2+2\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot8{,}0m\right)}{73kg}}=10{,}510484\ \frac{m}{s}\approx11\ \frac{m}{s}

14-8
m=1200kg
h_a=9{,}5\ m
v_a=18\ \frac{m}{s}
v_l=?
W=Fs=750N\cdot60m=45000J
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
 0+\frac{1}{2}mv_a^2+W=mgh_l+\frac{1}{2}mv_l^2
\frac{1}{2}mv_l^2=\frac{1}{2}mv_a^2-W-mgh_l  
E_{k{,}l}=\frac{1}{2}1200kg\cdot18\ \frac{m}{s}-45000J-1200kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot9{,}5m=37566J\approx38kJ

14-9
a)
m=20kg
h_a=3{,}0m
h_l=0m
v_a=5{,}0\frac{m}{s}
v_l=5{,}0\ \frac{m}{s}
W=?
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l}
 mgh_a+W=\frac{1}{2}mv_l^2
W=\frac{1}{2}mv_l^2-mgh_a=\frac{1}{2}\cdot20kg\cdot5{,}0^2\ \frac{m}{s}-20kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot3{,}0m=-338{,}6J\approx-340J
b)
\mu=0{,}77
s=?
v_a=5{,}0\ \frac{m}{s}
W=F_{\mu}s=\mu Ns
\Sigma\overline{F}=\overline{0}

\overline{N}+\overline{G}=\overline{0}\ \leftrightarrow\ \overline{N}=\overline{G}
W=F_{\mu}s=\mu Ns=\mu Gs=\mu mgs
E_{p{,}a}+E_{k{,}a}+W=E_{p{,}l}+E_{k{,}l} 
E_{k{,}a}+W=0

E_{k{,}a}-W=0
W=E_{k{,}a}
\mu mgs=\frac{1}{2}mv_a^2
s=\frac{\frac{1}{2}mv_l^2}{F_{\mu}}=\frac{\frac{1}{2}mv_l^2}{\mu mg}=\frac{v^2}{2\mu g}=\frac{\left(5{,}0\ \frac{m}{s}\right)^{^2}}{2\cdot0{,}77{,}9{,}81\ \frac{m}{s^2}}\approx1{,}7m

Kpl.13

13-1
a) Väärin. Potentiaalienergian nollatason voi valita tilanteen mukaan mille korkeudelle tahansa.
b) Oikein.
c) Oikein.
d) Oikein.
e) Oikein.
f) Väärin. Kun kappaleeseen vaikuttaa kitka, kappaleen mekaaninen energia ei säily vaan pienenee. Kitka on siis ei-konservatiivinen voima.

13-2
a)
E_p=mgh=55kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot8848m=4773938{,}4J=4{,}8MJ
b)
E_p=mgh=55kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot-10\ 994m=-5931812{,}7J=-5{,}9MJ
13-5
13-6
W=\Delta E_p=E_{p{,}l}-E_{p{,}a}=1{,}9\cdot10^5kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot10\ 700m-1{,}9\cdot10^5kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot0m=1{,}9943...\cdot10^{10}J\approx20GJ

Kpl.12

12-1
a)
E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot60kg\cdot\left(\frac{6}{3{,}6}\right)^2\frac{m}{s}=83J
b)
E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot11kg\cdot\left(\frac{100}{3{,}6}\right)^2\ \frac{m}{S}=4243{,}82...\approx4{,}2kJ

12-2
E_{k{,}auto}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\cdot1250kg\cdot\left(\frac{90{,}0}{3{,}6}\right)^2\ \frac{m}{s}=390625J
E_{k{,}rekka}=E_{k{,}auto}
\frac{1}{2}m_{rekka}v_{rekka}^2=E_{k{,}auto}
v_{rekka}=\sqrt[]{\frac{E_{k{,}auto}}{\frac{1}{2}m_{rekka}}}
v_{rekka}=x
x=\sqrt[]{\frac{390625J}{\frac{1}{2}\cdot40000kg}}=4{,}4194...\ \frac{m}{s}=15{,}909...\approx16\frac{km}{h}

12-5
12-9

Kpl.11

11-3
a) 
W=Fs=205N\cdot2{,}0m=410J
b)
W=F_xs=F\sin\alpha s=205N\cdot\sin45°\cdot2{,}0m=290J
 
11-4
a)
W=-Fs=-mgs=-220kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot12m=-25989{,}4\approx-26\ 000J=-26kJ
b) 
26kJ

11-5

11-7

11-10
m=560t=560\ 000kg
h=11km=11\ 000m
t=42\min=2520s
a) 
Oletetaan, että lentokone nousee vakionopeudella, jolloin 
\Sigma\overline{F}=\overline{0}eli\overline{F}+\overline{G}=\overline{0}. Valitaan suunta ylös positiivisekski, jolloin
F-G=0eliF=G=mg.Nostava voima on koneen painon suuruinen, joten työ on
W=Fh=mgh=560\ 000kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot11\ 000m\approx6{,}04296\cdot10^{10}J\approx60GJ
b) 
P=\frac{W}{t}=\frac{6{,}04296\cdot10^{10}J}{2520s}\approx23{,}98\cdot10^6W=24MW 
11-14

Kpl.10

10-3
a) Painonnostokilpailussa painoja on helpompi nostaa, jos painot ovat yhtä suuret ja tangon eri päissä. Painopiste on tangon geometrisessä keskipisteessä. Painonnostaja pyrkii asettamaan kätensä yhtä kauas tangon painopisteestä (geometrisestä keskipisteestä).
b) Painonnostossa käytetään leveää otetta, jolloin tanko on mahdollisimman helppo pitää tasapainossa. Raskaat levyt tangon päissä aiheuttavat suuren momentin tankoon. Jos kädet olisivat lähekkäin, pienikin ero käsien ja tangon keskipisteen välisissä etäisyyksissä aiheuttaisi suuren eron vasempaan ja oikeaan käteen kohdistuvissa voimissa. Samoin pienikin tangon kiertoliike tangon keskipisteen ympäri noston aikana olisi vaikea pysäyttää, nostaja menettäisi helposti tasapainonsa sivusuunnassa.

10-4
Joidenkin kukkien, esimerkiksi tulppaanien, varsi kasvaa nopeasti maljakossa. Samalla maljakon pohjalla oleva vesi vähenee sen noustessa varteen. Kukat voivat taipua kasvaessaan kauas reunan yli, ja kukkaasetelman painopiste muuttuu. Maljakon, veden ja kukkien yhteinen painopiste voi siirtyä maljakon kapean pohjan tukipinnan ulkopuolelle, varsinkin jos kukat taipuvat samaan suuntaan. Näin maljakko voi kaatua itsestään.

10-7
Tasapaksuun hirteen kohdistuva paino vaikuttaa hirren painopisteeseen eli keskipisteeseen. Hirren tasapainoehto pystysuunnassa on \Sigma\overline{F}=\overline{0} eli \overline{F}_1+\overline{F}_2+\overline{G}=\overline{0}. Kun suunta ylös on positiivinen, saadaan skalaariyhtälö F_1+F_2-G=0.

Vasemmanpuoleisen tukivoiman \overline{F}_1 vaikutuskohta on A. Valitaan kohta A momenttiakseliksi. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, akselin A suhteen momenttiyhtälö on \Sigma M_A=-G\cdot r+F_2\cdot r=0
Tukivoiman \overline{F}_2 suuruus on
F_2=\frac{mgr_1}{r_2}=\frac{140kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot1{,}0m}{3{,}0m}=457{,}8N
Tukivoman  \overline{F}_1 suuruus saadaan yhtälöstä F_1+F_2-G=0, joten F_1=G-F_2=mg-F_2=140kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}-457{,}8N\approx915{,}4N
Voimat ovat 460N ja 920N

10-9
m=78kg
l=4{,}5m
\alpha=45°
\overline{T}: Väijerin jännitysvoima
\overline{G}: Painovoima
\overline{F}: Saranan tukivoima
Tasapainoehto etenemisen suhteen x-suunnassa 
\Sigma\overline{F}=\overline{0}
\overline{T}+\overline{F}_x=\overline{0}
F_x-T=0
F_x=T
Tasapainoehto etenemisen suhteen y-suunnassa 
\Sigma\overline{F}=\overline{0}
\overline{G}+\overline{F}_y=\overline{0}
F_y-G=0
F_y=G=mg
 
Tasapainoehto pyörimisen suhteen 
\Sigma M_A=0
M_T-M_G-M_F=0
Tr_T-Gr_G-Fr_F=0
Tr_T=Gr_G
 
a) 
\sin\alpha=\frac{r_T}{l}
r_T=l\sin\alpha
\cos\alpha=\frac{r_G}{\frac{l}{2}}
Tr_T=Gr_G
T=\frac{Gr_G}{r_T}=\frac{mg\cdot\frac{l}{2}\cdot\cos\alpha}{l\cdot\sin\alpha}=\frac{78kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot\frac{4{,}5m}{2}\cdot\cos45°}{4{,}5\cdot\sin45°}=382{,}59N
b) 
F_x=T=382{,}59N
F_y=G=mg=78kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=765{,}18N
F=\sqrt[]{F_x^2+F_y^2}=\sqrt[]{382{,}59^2+765{,}18^2}=855{,}49...\approx860N

Voiman suunta
\tan\alpha=\frac{F_y}{F_x}=\frac{765{,}18N}{382{,}59N}=2
\alpha\approx63°

10-11

Lankun alapäässä vaikuttavat lattian tukivoima \overline{N}_1 ja kitka \overline{F}_{\mu1} . Yläpäässä lankkuun kohdistuu seinän tukivoima\overline{N}_2 ja koska seinä oletettiin liukkaaksi, kitkaF_{\mu_2}\approx0N . Lankun painopisteessä vaikuttaa lankkuun kohdistuva paino \overline{G}
Tasapainoehto etenemisen suhteen pystysuunnassa on Newtonin II lain perusteella \Sigma\overline{F}_y=\overline{0} eli \overline{N}_1+\overline{G}=\overline{0}. Kun suunta ylös on positiivinen, skalaariyhtälöstä N_1-G=0 saadaan N_1=G.

Tasapainoehto vaakasuunnassa on Newtonin II lain perusteella \Sigma\overline{F}_x=\overline{0} eli \overline{N}_2+\overline{F}_{\mu1}=\overline{0}. Kun suunta oikealle on positiivinen, skalaariyhtälöstä N_2-F_{\mu1}=0 saadaan N_2=F_{\mu1}=\mu N_1=\mu G

Asetetaan momenttiakseli pisteeseen A. Kun kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, tasapainotilanteessa momenttien summa akselin A suhteen on \Sigma M_A=0 eli -N_2a+G\cdot\frac{1}{2}b=0.Koska N_2=\mu G
momenttiehto -N_2a+G\cdot\frac{1}{2}b=0 saadaan muotoon -\mu Ga+G\cdot\frac{1}{2}b=0 eli -\mu a+\frac{1}{2}b=0,
josta saadaan \frac{b}{a}=2\mu.
Toisaakta suorakulmaisen kolmion trigonometrian perusteella on 
\tan\theta=\frac{b}{a}, joten yhtälöstä
\tan\theta=\frac{b}{a}=2\mu=2\cdot0{,}42=0{,}84
saadaan kulma \theta\approx40°

Kpl.9

9-2
Jos soudan oikean käden puoleisella airolla voimakkaammin kuin vasemman käden puoleisella airolla, vesi kohdistaa oikean käden puoleiseen airoon suuremman voiman kuin vasemman käden puoleiseen airoon. Tällöin suuremman voiman aiheuttama vääntömomentti on suurempi ja vene kääntyy vasemman käden suuntaan eli kulkusuunnassa oikealle.

9-4
Tarvittava voima on pienin, kun voima on kohtisuorassa voiman vartta vastaan. Voiman momentti on M = Fr, joten pienimmän voiman suuruus on 
F=\frac{M}{r}=\frac{130Nm}{0{,}24m}\approx540N

9-7
a)
Kun momentin kiertosuunta vastapäivään on positiivinen, voiman F1 momentti akselin A suhteen on
M_A=-F_1r_1=-4{,}0N\cdot0{,}110m=-0{,}44Nm
b) 
Kun kulma α = 90°, voimien momenttien summa on
\Sigma M_A=-F_1r_1-F_2r_2=-4{,}0N\cdot0{,}110m-6{,}0N\cdot0{,}220m\approx-1{,}8Nm
Jos kulma α = 50°, voiman 2 F vartta vastaan kohtisuora komponentti on
F_{2y}=F_2\sin50°=6{,}0N\cdot\sin50°\approx459627N
Momenttien summa akselin A suhteen on
\Sigma M_A=-F_1r_1-F_2r_2=-0{,}44Nm-4{,}59627N\cdot0{,}220m\approx-1{,}5Nm
Momentti on 1,5Nm myötäpäivään.

9-8
Koska voiman momentti on kääntäen verrannollinen voiman vaikutussuoran etäisyyteen kiertoakselista, lisätään taulukkoon arvot 1/r.
r(m) 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75
1/r(1/m) 6,67 3,33 2,22 1,67 1,33
F(N) 36,5 17,8 12,0 8,8 7,3

Viedään arvot 1/r,F mittausohjelmaan.

Mittausohjelman perusteella voiman momentti on 5,5 Nm. Momentin kiertosuunta on vastapäivään.

9-10
Valitaan kiertosuunta vastapäivään positiiviseksi. Tukki irtoaa tueltaan, jos nostavan voiman momentti positiiviseen kiertosuuntaan on suurempi kuin painon momentti negatiiviseen kiertosuuntaan. Tällöin tukki joutuu pyörimisliikkeeseen akselin A ympäri.

Painon momentti negatiiviseen kiertosuuntaan on
M_G=-Gr_G=-mgr_G=-46kg\cdot9{,}81\frac{m}{s^2}\cdot1{,}5m=676{,}89Nm
Kahvasta nostettaessa voiman momentin pitää olla positiiviseen kiertosuuntaan suurempi kuin 676,89 Nm. Rajatapauksessa, jolloin tukki on irtoamassa alustastaan, voiman momentti on
M_A=Fr=676{,}89Nm, eli F=\frac{M_A}{r}=\frac{676{,}89Nm}{r}
Näin ollen eri kahvoista nostettaessa tarvittavan voiman suuruus on suurempi kuin

F_1=\frac{676{,}89Nm}{r}=\frac{676{,}89Nm}{0{,}75m}\approx900N
F_2=\frac{676{,}89Nm}{r}=\frac{676{,}89Nm}{1{,}50m}\approx450N

F_3=\frac{676{,}89Nm}{r}=\frac{676{,}89Nm}{2{,}25m}\approx300N
F_4=\frac{676{,}89Nm}{r}=\frac{676{,}89Nm}{3{,}0m}\approx230N
Osoittajan tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa. Siksi vastaustenkin tarkkuus on kaksi merkitsevää numeroa.

Kpl.8

8-2
a)
N=1{,}4N-0{,}84N=0{,}56N
b)
N=\rho Vg\ \leftrightarrow\ V=\frac{N}{\rho g}=\frac{0{,}56N}{998{,}20\ \frac{kg}{m^3}\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}=5{,}718...\cdot10^{-5}\ m^3=57{,}18...cm^3\approx57\ cm^3
8-3

a)
Yläpinta:
F_1=P_1A=\rho gh_1A=\ 998{,}2\ \frac{kg}{m^3}\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot0{,}89m\cdot\left(0{,}55m\cdot0{,}55m\right)=2636{,}343...\approx2{,}6kN
Alapinta:
F_2=P_2A=\rho gh_2A=998{,}2\ \frac{kg}{m^3}\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot1{,}44m\cdot\left(0{,}55m\cdot0{,}55m\right)=4265{,}544...\approx4{,}3kN
b)
N=\rho Vg=998{,}2\ \frac{kg}{m^3}\cdot0{,}55^3m^3\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1629{,}2009\approx1{,}6kN

8-4
a)
G=mg=1{,}2kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=11{,}772\approx12N
b)
Sama kuin vedessä eli 1,2 kg
c)
\rho=\frac{m}{V}\ \leftrightarrow\ V=\frac{m}{\rho}=\frac{1{,}2\ kg}{2500\ \frac{kg}{m^3}}=4{,}8\cdot10^{-4}m^3
N=\rho Vg=998.2\ \frac{kg}{m^3}\cdot4{,}8\cdot10^{-4}m^3\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=4{,}7003...\approx4{,}7N
d)
Kivi pysyy paikallaan, kun sitä tuetaan ylöspäi suuntautuvalla voimalla, jonka suuruus on:
F=G-N=11{,}772N-4{,}7003N=7{,}0717\approx7{,}1N

8-12
m_{pallo}=23kg
V=160m^3
\rho_{kuuma\ ilma}=0{,}85\ \frac{kg}{m^3}
\rho_{ilma}=1{,}3\ \frac{kg}{m^3}
Rajatapauksessa palloon kohdistuva noste on yhtä suuri kuin palloon kohdistuva kokonaispaino
Tasapainoehto on \Sigma\overline{F}=\overline{0}eli\overline{G}_{kok}+\overline{N}=\overline{0}. Valitaan suunta alsa positiiviseksi.
G_{kok}-N=0

m_{ki}g+m_{kuorma}g+m_{pallo}g=\rho_{ilma}Vg
m_{ki}=\rho_{ki}Vg
\rho_{ki}Vg+m_{kuorma}g+m_{pallo}g=\rho_{ilma}Vg
m_{kuorma}=\rho_{ilma}V-\rho_{ki}V-m_{pallo}=V\left(\rho_{ilma}-\rho_{ki}\right)-m_{pallo}=160\ m^3\left(1{,}3\ \frac{kg}{m^3}-0{,}85\ \frac{km}{m^3}\right)-23\ kg=49kg

8-13
a)
Epäily rautalaivojen kellumisesta johtui siitä, että raudan tiheys oli suurempi kuin veden. Rautalaivan pysyminen pinnalla johtuu veden nosteesta. Kelluva laiva on ontto, eli valtaosa laivan tilavuudesta on ilmaa. Laivan kohdistuva veden noste on yhtä suuri kuin laivan syrjäyttämään vesimäärän kohdistuva paino.
b) 
Pelastusliivit valmistetaan vedenpitävästä, kevyestä ja kelluvasta materiaalista. Pelastusliivien varassa igminen kelluu, vaikak uimiseen tai veden pinnalla pysymiseen tarvittavat voimat vedessä loppuisivat. Varsinaisten pelastusliivien (ei uimaliivien) etupuolella on suuret kellukkeet, jotka kääntävät veden varaan joutuneen tajuttoman henkilön selälleen, jollin pää pysyy veden yläpuolella.

8-14
Alussa palloa on helppo, koska vedestä palloon kohdistuva noste on pieni. Mitä syvemmälle painetaan palloa, sitä suurempi noste on. Nosteen suuruus riippuu vedenpinnan alapuolella olevan pallon osan tilavuudesta.

Kpl.7

7-2
a)
F_{\mu}=\mu N=\mu mg=0{,}040\cdot2400kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=941{,}76\approx940N
b)


7-6
a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{0{,}0\ \frac{m}{s}-1{,}6\ \frac{m}{s}}{8{,}0s}=-0{,}20\ \frac{m}{s^2}
F=ma=0{,}170kg\cdot\left(-0{,}20\right)\ \frac{m}{s^2}=-0{,}034N
Liiketta hidastava voima on 0,034N eli 34mN

7-9
\Sigma\overline{F}=m\overline{a}\ \leftrightarrow\ \overline{F}_{\mu}+\overline{N}+\overline{G}=m\overline{a}

a=\frac{\overline{F}_{\mu}+G_x}{m}=\frac{G\sin\alpha-\mu N}{m}=\frac{mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha}{m}=\frac{m\left(g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha\right)}{m}=g\left(\sin\alpha-\mu\cos\alpha\right)=9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot\left(\sin25°-0{,}15\cdot\cos25°\right)=2{,}812...\approx2{,}8\ \frac{m}{s^2}
Suunta tason sunnasa alas

7-13
Koska kirjan massa on 510g, kirjaan kohdistuva painio on G=mg=0{,}51kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\approx5{,}0N. Lepokitka ylöspäin on F_{\mu0}=\mu_0N=0{,}60\cdot12N=7{,}2N>G, eli kirja pysyy paikoillaan.

Kpl.6

6-1
\overline{F}_1=17N
\overline{F}_2=36N
\Sigma\overline{F}=\sqrt[]{F_1^2+F_2^2}=\sqrt[]{17^2+36^2}=39{,}81205...\approx39{,}8121N
a=\frac{F}{m}=\frac{39{,}8121N}{25\ kg}=1{,}592...\approx1{,}6\ \frac{m}{^{s^2}}

6-4

\Sigma\overline{F}=m\overline{a}
\overline{a}=\frac{F}{m}=\frac{F\tan\alpha}{m}=\frac{mg\cdot\tan\alpha}{m}=g\cdot\tan\alpha=9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot\tan25°=4{,}5744...\approx4{,}57\ \frac{m}{s^2}
\Sigma\overline{F}=m\overline{a}=120kg\cdot4{,}57\ \frac{m}{s^2}=548{,}937...\approx550N
V: b) 550N

6-9

Koska ehto \Sigma\overline{F}=\overline{0} o voimassa, vektorikuviosta saadaan yhtälö \tan60°=\frac{N_1}{G}, josta voiman N1 suuruus on 
N_1=mg\cdot\tan60°=4{,}7kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}\cdot\tan60°=79{,}859...\approx80N
ja N2
\cos60°=\frac{G}{N_2}
N_2=\frac{G}{\cos60°}=\frac{mg}{\cos60°}=\frac{4{,}7kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}}{\cos60°}=92{,}214\approx90N

6-12

a)
F_x=F\cos25°=35N\cdot\cos25°=31{,}72...\approx32N
F_y=F\sin25°=35N\cdot\sin25°=14{,}79...\approx15N
b)
Koska laatikko on paikkallan, \Sigma\overline{F}=\overline{0} eli \overline{N}+\overline{F}_y+\overline{G}=\overline{0}. Sovitaan suunta ylös positiivikseksi
\overline{N}+\overline{F}_y+\overline{G}=\overline{0}\ \leftrightarrow\ N+F_y-G=0
N=G-F_y=mg-F_y=4{,}0kg\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}-15N=24{,}24N\approx24N

Kpl.5

5-1
a) 
A.
\Sigma F=19N+17N-16N=20N
B.
\Sigma F=27N-27N=0N
b) 
A:\overline{a}=\frac{\Sigma\overline{F}}{m}=\frac{20N}{2{,}5kg}=8\ \frac{m}{s^2}
B: 0 m/s2

5-2
a)
\overline{a}=\frac{\Sigma\overline{F}}{m}=\frac{55N-6{,}5N}{5{,}6kg}=8{,}66...\approx8{,}7\ \frac{m}{s^2}
b)
\overline{a}=\frac{\Sigma\overline{F}}{m}=\frac{55N-55N}{5{,}6kg}=0\ \frac{m}{s^2}

5-3
a)

b) Liikeen suunta on positiivinen suunta
Kokonaisvoima on \Sigma\overline{F}=\overline{F}+\overline{F}_{\mu}+\overline{N}+\overline{G}
Kappale ei liiku pystysuunnassa, joten
\Sigma\overline{F}=\overline{0}eli 
\overline{N}+\overline{G}=\overline{0}
Sklaraaariyhtälö on N-G=0eli N=G
\overline{N}ja\overline{G}kumoavat toisensa. Kokonaisvoima on \Sigma\overline{F}=\overline{F}+\overline{F}_{\mu}
skalaarimuodossa 
\Sigma F=F-F_{\mu}=755N-620N=135N
c)
Newtonin II lain mukaan \Sigma\overline{F}=m\overline{a}
b-kohdan nojalla 
\Sigma F=F-F_{\mu}eli F-F_{\mu}=ma
a=\frac{F-F_{\mu}}{m}=\frac{755N-680N}{35kg}\approx3{,}9\ \frac{m}{s^2}

5-5
a)
Maan vetovoima \overline{G} 
Tukivoima (ilmavastus) \overline{N}
b)
\overline{a}=\frac{\Sigma\overline{F}}{m}\ \leftrightarrow\ \Sigma\overline{F}=\overline{a}m\
\Sigma\overline{F}=\overline{N}+\overline{G}
\overline{N}+\overline{G}=\overline{a}m
N=mg-ma=m\left(g-a\right)=55kg\cdot\left(9{,}81\ \frac{m}{s^2}-1{,}5\ \frac{m}{s^2}\right)=457.05\approx460N
5-8

a) 720 N

5-9
a=\frac{F}{m}=\frac{F}{m_1+m_2}=\frac{250N}{65kg+8{,}5kg}=\frac{250N}{73{,}5kg}=3{,}401360544\frac{m}{s^2}
F_n=am_{pulkka}=3{,}401360544\ \frac{m}{s^2}\cdot8{,}5kg=28{,}911...\approx29N

5-10
a) 

Koska venymättömän langan jännitysvoima on langan molemmissa päissä yhtä suuri, on T1=T2. Kappaleilla on sama kiihtyvyyden suuruus, koska ne liikkuvat yhdessä: a1=a2.
Kappale m1: Newtonin II lain mukaan on\Sigma\overline{F}=m_1\overline{a}_1 eli \overline{T}_1+\overline{G}_1=m_1\overline{a}_1. Kun valitaan suunta ylös positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T-G_1=m_1a_1 eli T-m_1g=m_1a_1
Kappae m2: Newtonin II lain mukaan on \Sigma\overline{F}=m_2\overline{a}_2 eli \overline{T}_2+\overline{G}_2=m_2\overline{a}_2. Kun valitaan suunta ylös positiiviseksi, saadaan skalaariyhtälö T-G_2=-m_2a_2 eli T-m_2g=-m_2a_2
Saadaan yhtälöpari:
 T-m_1g=m_1a_1
T-m_2g=-m_2a_2
Kerrotaan alempi yhtälö luvulla -1 ja lasketaan yhtälöt yhteen (eli vähennetään puolittain ylemmästä yhtälöstä alempi). Näin saadaan yhtälö g(m2-m1)=(m2+m1)a, josta kiihtyvyys on.
a=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}g=\frac{2{,}0kg}{16{,}0kg}\cdot9{,}81\ \frac{m}{s^2}=1{,}22625\ \frac{m}{s^2}\approx1{,}2\ \frac{m}{s^2}
Koska kiihtyvyyden arvo on positiivinen, kappaleen 1 kiihtyvyys on ylös ja kappaleen 2 vastaavasti alas kuten tilanteesta on muutenkin pääteltävissä. Langan jännitysvoiman suuruus on
T=m_1a_1+m_1g=m_1\left(a+g\right)=7{,}0kg\cdot\left(1{,}22625\ \frac{m}{s^2}+9{,}81\ \frac{m}{s^2}\right)\approx77N
b)
Kappale m2 törmää lattiaan nopeudella 
v=\sqrt[]{2as}=\sqrt[]{2\cdot1{,}22625\ \frac{m}{s^2}\cdot1{,}0m}\approx1{,}6\ \frac{m}{s}

Kpl.4

4-1
a)
Sauvamagneetin ja Maan välillä vallitsee gravitaatiovuorovaikutus. Maan ja magneetin välillä on magneettinen vuorovaikutus. Kosketusvuorovaikutus on langan ja magneetin välillä. Magneetin ja ilman välillä on kosketusvuorovaikutus.
b)
Gravitaatiovuorovaikutus: kärryt ja Maa. Kosketusvuorovaikutus: lattia ja kärryt. Kosketusvuorovaikutus: työntäjä ja kärry. Kosketusvuorovaikutus: lattia ja kärryt. Kosketusvuorovaikutus: kärryt ja ilma.
c)
Gravitaatiovuorovaikutus: Maa ja pallo. Sähköinen vuorovaikutus: pallot keskenään. Kosketusvuorovaikutus: lanka ja pallo. Kosketusvuorovaikutus: pallo ja ilma.

4-4
a)
150N
b) 
150N
c) 
Kestää

4-5
a)
F1: Vetävä voima
F2: Ilmavastus
F3: Tukivoima
F4: Gravitaatiovoima/ maapellon vetovoima
F5: Kitka
b)
F1: Ilmavastus
F2: Maapallon vetovoima
c) 
F1: Vetävä voima
F2: Maapallon vetovoima
F3: Tukivoima

4-8
a)
Jään ja ilman kanssa ja etävuorovaikutuksessa maan kanssa maapallon vetovoimalla.
b)
Kiekkoa kiihtyvä lyönnin voima
Maapallon vetovoima
Kitka
Ilmavastus
Tukivoima
c)

d)
Painon G vastavoima on voima, jolla kiekko vetää Maata. Tukivoiman N vastavoima on voima, jolla kiekko painaa jäätä. Kitkan Fµ vastavoima on voima, jolla kiekko vaikuttaa jään pintaan. Ilmanvastuksen Fi vastavoima on voima, jolla kiekko vaikuttaa ilmaan.

4-9
Havaitsemissasi ilmiöissä kyse ei ole voimista vaan siitä, että massasi vastustaa liikkeesi muuttumista, kun bussin liike muuttuu. Kaikki havaitsemasi ilmiöt johtuvat massan hitaudesta.

4-10
a) Voimat F3 ja F4 eivät ole voima ja vastavoima, koska ne vaikuttavat samaan kappaleeseen (lamppuun).
b) Voiman F2 vastavoima on F3.
c) Voiman F6 vastavoima on voima, jolla lamppu vetää Maata.
d) Voima F5 on tukivoima, jolla naru estää lampun putoamisen. Voima F6 on voima, jolla Maa vetää lamppua.
4-12

Kpl.3

3-1
a) 5,0km ja 12,5km
b) 
v_k=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{12{,}5km-5{,}0km}{1{,}0h-0{,}2h}=9{,}375\ \approx9{,}4\frac{km}{h}
c)
v\left(0{,}50h\right)=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{8{,}75km}{0{,}96h}\approx9{,}1\ \frac{km}{h}

3-3
a)

b) 

c)
v_k=\frac{s}{t}=\frac{18m}{16s}\approx1{,}1\ \frac{m}{s}

3-5
a)

b)
19,29 m/s [(g(76)]
c)
a_k=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{15{,}0\ \frac{m}{s}-10{,}6\ \frac{m}{s}}{6{,}0s-\ 4{,}0s}\approx2{,}3\ \frac{m}{s^2}

3-7


3-8
a)

b) 
Kiihtyvyyden suurin arvo saavutetaan hetkellä t≈6,13 s. Kiihtyvyys on 
a\left(6{,}13\ s\right)=\frac{38{,}76\ \frac{km}{h}}{s}=\frac{38{,}76\ \frac{km}{h}:3{,}6}{s}\approx10{,}767...\approx11\ \frac{m}{s^2}
c)

Matka sadaan t,v-koordinaatiston kuvaajasta fysikaalisena pinta-alana
s=471{,}88\cdot s=\frac{471{,}88}{3{,}6}\ \frac{m}{s}\cdot s\approx131\ m
3-9
\approx9{,}7\ \frac{m}{s^2}

Kpl.2

2-1
a)
Mopoauto kiihtyy aikavälillä 0-6s, sitten se alkoi liikkua vakionopeudella välillä 6-10s, lopuksi liike alkoi hidastua välillä 10-14s
b) 
0,0s-6,0s: 2,0 m/s2
6,0s-10s: 0,0 m/s2
10s-14s: 3,0 m/s2
c) 
x_0=0
v_0=0
a_1=2{,}0\ \frac{m}{s^2}
a_2=0{,}0\ \frac{m}{s^2}
a_3=3{,}0\ \frac{m}{s^2}
t_1=6s
t_2=4s
t_3=4s
x=?
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
x_1=0\ \frac{m}{s}\cdot6s+\frac{1}{2}\cdot2{,}0\ \frac{m}{s^2}\cdot6^2s
x_1=36\ m
x_2=36\ m\left(x_1\right)+12\ \frac{m}{s}\cdot4s+\frac{1}{2}\cdot0{,}0\ \frac{m}{s^2}\cdot4^2s
x_2=84\ m
x_3=84m\left(x_2\right)+12\ \frac{m}{s}\cdot4s+\frac{1}{2}\cdot\left(-3{,}0\right)\ \frac{m}{s^2}\cdot4^2s
x_3=108\ m\approx110\ m

2-2
a)
 
b)
v_k=\frac{v_0+v}{2}=\frac{75\ \frac{km}{h}+101\ \frac{km}{h}}{2}=88\ \frac{km}{h}
c)
v=v_0+at
v-v_0=at
\frac{v-v_0}{t}=a
\frac{28\ \frac{m}{s}-21\ \frac{m}{s}}{3s}=a
a=2{,}333...\approx2{,}3\ \frac{m}{s^2}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 
x=0\ m+21\ \frac{m}{s}\cdot3s+\frac{1}{2}\cdot2{,}3\ \frac{m}{s^2}\cdot3^2s
x=73{,}35\ m\approx73\ m

2-4
a)
v=v_0+at=0\ \frac{m}{s}+4{,}0\ \frac{m}{s^2}\cdot10.0s=40\ \frac{m}{s}
b)
v_k=\frac{v-v_0}{2}=\frac{40\ \frac{m}{s}-0\ \frac{m}{s}}{2}=20\ \frac{m}{s}
c)
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2=0\ m+0\ \frac{m}{S}\cdot10s+\frac{1}{2}\cdot4{,}0\ \frac{m}{s^2}\cdot10^2s=\frac{1}{2}\cdot4{,}0\ \frac{m}{s^2}\cdot10^2s=200\ m 
2-6
a)
v=v_0+at\ \leftrightarrow\ a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{25\ \frac{m}{s}-15\ \frac{m}{s}}{3{,}0s}=3{,}3333...\approx3{,}3\ \frac{m}{s^2}
b)
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2=0\ m+15\frac{m}{S}\cdot3{,}0s+\frac{1}{2}\cdot3{,}3\ \frac{m}{s^2}\cdot3{,}0^2s=15\frac{m}{S}\cdot3{,}0s+\frac{1}{2}\cdot3{,}3\ \frac{m}{s^2}\cdot3{,}0^2s=59{,}85\ m\approx60\ m

2-7
v_0=45\ \frac{km}{h}=12{,}5\ \frac{m}{s}
v=0\ \frac{km}{h}=0\ \frac{m}{s}
t=4{,}0\ s
a)
v=v_0+at\ \leftrightarrow\ a=\frac{v-v_0}{t}=\frac{0\ \frac{m}{s}-12{,}5\ \frac{m}{s}}{4{,}0s}=-3{,}125\ \frac{m}{s^2}\approx3{,}1\ \frac{m}{s^2}
Suunta nopeuden sunnalle vastakkainen
b)
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
x=v_0t+\frac{1}{2}at^2=\frac{-3{,}1\ \frac{m}{s^2}}{2}\cdot4^2s+12{,}5\ \frac{m}{s}\cdot4=25{,}2\ m\approx25m
c)
s=vt=12{,}5\ \frac{m}{s}\cdot0{,}50s=6{,}25m
6{,}25\ m+25m=31{,}25\ m\ \approx31m

2-8
a) 
Tilanteessa A jarrupoljinta painetaan ensin kevyesti, mutta painaminen kasvaa jarrutuksen edetessä. Tilanteessa B jarrupoljinta painetaan koko ajan samalla voimakkuudella. Tilanteessa C jarrupoljinta painetaan ensi hyvin voimakkaasti, mutta jarrutuksen edetessä poljinta löysätään hieman.
b) C
c) n.14 m

2-10
a)
Koska hissin kiihtyvyys on vakio, ja hissi lähtee levosta (v0 = 0 m/s), hissin keskinopeus ensimmäisen 5,0 m matkalla on v_k=\frac{v_0+v}{2}=\frac{v}{2}, jossa v on tällä matkalla saavutettu loppunopeus ja myös hissin nopeus tasaisen liikkeen aikana.

v_k=\frac{5{,}0\ m}{2{,}5\ s}=2{,}0\ \frac{m}{s}
Hissin loppunopeus ensimmäisen osuuden jälkeen eli hissin nopeus tasaisen liikkeen aikana on
v=2v_k=4{,}0\ \frac{m}{s}
b)
Hissi kulkee 19 kerrosväliä eli matkan 19 ∙ 2,8 m = 53,2 m. Jarrutusmatka on 53,2 m-5,0 m-44,0 m=4,2 m ja tähän kuluva aika 
t=\frac{s}{v_k}=\frac{4{,}2\ m}{\frac{4{,}0\ \frac{m}{s}+0\ \frac{m}{s}}{2}}=2{,}1\ s
Koska hissi kulkee 44,0 m vakionopeudella, tähän kuluu aikaa
t=\frac{s}{v}=\frac{44{,}0\ m}{4{,}0\ \frac{m}{s}}=11s
Koko matkaan kuluva aika on 
2{,}5s+11s+2{,}1s=15{,}6s\approx16s

2-13
a) 
Alkunopeus: v_0=22\ \frac{m}{s}
Vakiokiihtyvyys: a=5{,}4\ \frac{m}{s^2}
Paikka alkuhetkellä:x_0=0\ m
Paikka hetkellä tx=25\ m
t=?
Ratkaistaan t yhtälöstä:
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2

x=v_0t+\frac{1}{2}at^2
\frac{1}{2}ar^2+v_0t-x=0
\frac{1}{2}\cdot5{,}4\ \frac{m}{s^2}\cdot t^2+22\ \frac{m}{s}t-25\ m=0
t\approx−9.159\ tai\ t\approx1.012\ \left(laskin\right)
Laskinmen avulla saattiin ratkaisuksi -9,159s ja 1,012s, koska aika ei voi olla negatiivinen, sitä negatiivistä ratkaisua hylätään, ja lopuksi jää vastaukseski 1,012 s
v: koska 1,012s ≈ 1,0s, joten oikea vastasu on b

2-14
a) 
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{0{,}0\ \frac{m}{s}-3{,}65\ \frac{m}{s}}{9{,}0s-3{,}0s}=-0{,}6083...\approx-0{,}61\ \frac{m}{s^2}

b) 
 x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2=0\ m+5{,}5\ \frac{m}{s}\cdot9{,}0s+\frac{1}{2}\cdot\left(-0{,}61\ \frac{m}{s^2}\right)\cdot9{,}0^2s=24{,}795\ m\approx25\ m

Kpl.1

1-1
a) 10s-20s
b) 30s-40s
c) 10s-10s, 20s-30s, 40s-50s
d) 30s-40s

1-2
a) 2,0 m
b) 2,0 m/s
c) -6,0 m
d) 6,0 m/s, taaksepäin
e) -4,0 m/s

1-3
a) Nopeus kasvaa nopeasti välillä 0s-2s. sitten nopeus laskee ja kappale alkaa liikkumaan taaksepäin.
b) 12m
c) 
0s-3s=\frac{6{,}0m}{3{,}0s}=2{,}0\ \frac{m}{s}
3s-10s=\frac{6{,}0m}{7{,}0s}=0{,}8571...\approx0{,}86\ \frac{m}{s}, taaksepäin
d) 


1-4
a)
Teoreettinen nopeus:
t\left(Matka\right)=10\cdot0{,}1m=1{,}0m
s\left(Aika\right)=21s-5s=16s
s=vt\ \leftrightarrow\ v=\frac{t}{s}=\frac{1{,}0m}{16s}=0{,}0625\frac{m}{s}\approx6{,}25\ \frac{cm}{s}
Oikea nopeus:

\approx6{,}448\ \frac{cm}{s}
b)


1-5

Kokkeen toiminnasta sanottiin, että ''Valonnopeuden mittauslaite lähettää valopulssiin ja vastaanottaa peilistä takaisin heijastuneen pulssin sekä rekisteröi pulssin lähdön ja paluun väliseen aikaeron. Kokeessa peilin etäisyyttä (s) mittalaitteesta muutettiin metrin välein ja mitattiin aikaerot (t), jolloin saatiin alla olevan taulukon mukaiset tulokset.''. Tämän mukaan voidaan oleta, että valon kulkema matka on meno ja palumatkan summa, eli laiteiden välinen etäisyys tulee olla korrostettuna kahdella. tällöin saadaan nopeudeksi 2,8*108m/s.

1-6
v=3{,}5\ \frac{m}{s}
s=3{,}5\ \frac{m}{s}\cdot1800s\ \left(30\cdot60s\right)=6300m
a)
b)



1-7
v=1{,}9\ \frac{m}{s}
t_0=0s
x_0=2{,}3m
t_1=4{,}5s
x_1=?

v=\frac{\Delta t}{\Delta s}\leftrightarrow\frac{x_1-2{,}3m}{4{,}5s-0s}=1{,}9\ \frac{m}{s}
\frac{x_1-2{,}3m}{4{,}5s-0s}=1{,}9\ \frac{m}{s}

\frac{x_1-2{,}3m}{4{,}5s}=1{,}9\ \frac{m}{s}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot4{,}5s
x_1-2{,}3m=8{,}55m\ \ \ \ \ \left|\right|+2{,}3m
x_1=10{,}85m


1-8
t_0=0s
x_0=0{,}35m
t_1=6{,}1s
x_1=8{,}3m
v=? 
 
v=\frac{\Delta t}{\Delta s}\leftrightarrow\frac{8{,}3m-0{,}35m}{6{,}1s-0s}=v
v\ =\frac{8{,}3m-0{,}35m}{6{,}1s-0s}=1{,}3032...\approx1{,}3\frac{m}{s}
V: b) 1,3 m/s

1-9
v=150\ \frac{km}{h}=41{,}666...\approx41{,}67\ \frac{m}{s}
t=0{,}20s
x=\Delta x=?

v=\frac{\Delta x}{t}\ \leftrightarrow\ \Delta x=vt=41{,}67\ \frac{m}{s}\cdot0{,}20s=8{,}334\approx8{,}3m

1-14
a)
x=1{,}5m+2{,}0\frac{m}{s}\cdot t
b)
2{,}0\ \frac{m}{s}\cdot2{,}5s=5{,}0m