Määritä lukujonon rekursiivinen sääntö ja neljäs jäsen, kun kolme ensimmäistä jäsentä ovat
a) [[$ 625, 25, 5,... $]]​
b) [[$ 2, -4, -16,... $]]​
c) [[$ 2, -4, 16,... $]]​
d) [[$ 3, 1, 1,... $]]​

Ratkaisu:
a) [[$ 625, 25, 5,... $]]

[[$ 25^2=625 $]], joten [[$ \sqrt{625}=25 $]]. Rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=625 \\ a_n=\sqrt{a_{n-1}} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Neljäs jäsen on [[$ \sqrt{5} $]].

b) [[$ 2, -4, -16,... $]]

​​[[$ 2^2=4 $]] ja [[$ 4^2=16 $]]. Tällöin rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=-1 \cdot (a_{n-1})^2 & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Neljäs jäsen on [[$ -1 \cdot (-16)^2=-256 $]].

c) [[$ 2, -4, 16,... $]]

​​[[$ 2^2=4 $]] ja [[$ 4^2=16 $]] aivan kuten edellä. Nyt etumerkki vaihtuu joka toisessa jäsenessä, joten kerrotaan [[$ (-1) $]]​:llä.

n	[[$ a_n $]]​
1	2	​
2	-4	[[$ =2^2 \cdot(-1) $]]	[[$ =2^2 \cdot(-1)^1 $]]
3	16	[[$ =(-4)^2 \cdot(-1)\cdot(-1) $]]	[[$ =(-4)^2 \cdot(-1)^2 $]]
4	-256	[[$ =16^2 \cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1) $]]	[[$ =16^2 \cdot(-1)^3 $]]
[[$ n $]]​			[[$ =(a_{n-1})^2 \cdot(-1)^{n-1} $]]

Rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=(a_{n-1})^2 \cdot(-1)^{n-1} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]​

Neljäs jäsen on [[$ -256 $]].

Toinen vaihtoehto:

n	[[$ a_n $]]​
1	2	​
2	-4	[[$ =2 \cdot(-2) $]]	[[$ =2 \cdot 2 \cdot(-1) $]]	[[$ =2 \cdot 2^1 \cdot(-1) $]]
3	16	[[$ =(-4) \cdot(-4) $]]	[[$ =-4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot(-1) $]]	[[$ =(-4) \cdot 2^2 \cdot(-1) $]]
4	-128	[[$ =16 \cdot(-8) $]]		[[$ =16 \cdot 2^3 \cdot(-1) $]]
[[$ n $]]​				[[$ =a_{n-1} \cdot 2^{n-1} \cdot (-1) $]]

Rekursiivinen sääntö on
[[$ \begin{cases} a_1=2 \\ a_n=a_{n-1} \cdot 2^{n-1} \cdot(-1) & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]

Neljäs jäsen on [[$ -128 $]].

Huom! Tästä esimerkistä huomataan, että, jos lukujonon jäseniä tiedetään vain muutama, lukujonon säännön selvittäminen ei ole yksiselitteistä.

d) [[$ 3, 1, 1,... $]]

Tähänkin voi löytyä useampia ratkaisuja. Esimerkiksi
[[$ \begin{cases} a_1=3 \\ a_n=1^{a_{n-1}} & \quad n=2,3,4,... \end{cases} $]]
Tällöin neljäs jäsen on [[$ 1^1=1 $]].