Pistetulo

Vektoreiden välinen kulma

Tulkitaan geometrisesti siten, että vektorit piirretään alkamaan samasta pisteestä

Kun lasketaan vektoreiden välistä kulmaa niin siinä käytetään apuna vektoreiden pistetuloa

Määritellään kahden vektorin pistetulo

$Olkoon\ vektorit\ \overline{a}=x_1\overline{\text{i}}+y_1\overline{\text{j}}=\binom{x_1}{y_1}\ ja\ \overline{b}=x_2\overline{\text{i}}+y_2\overline{\text{j}}=\binom{x_2}{y_2}$
$Nyt\ vektoreiden\ pistetulo{,}\ \overline{a}\cdot\overline{b}=x_1x_2+y_1y_2$

$esim\ jos\ \overline{a}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}\ ja\ \overline{b}=i+4\overline{\text{j}}$
$pistetulo\ \overline{a}\cdot\overline{b}=3\cdot1+\left(-2\right)\cdot4=-5$

Vektoreiden välinen kulman laskeminen

Vektoreiden välinen kulma on helppo määrittää pistetulon avulla. Pistetulon määritelmä

$\overline{a}\cdot\overline{b}=\left|\overline{a}\right|\cdot\left|\overline{b}\right|\cdot\cos\alpha{,}\ jossa\ \alpha\ on\ \overline{a}:n\ ja\ \overline{b}:n\ välinen\ kulma$

Kun tästä määritelmästä ratkaistaan cos α, saadaan

$\cos\alpha=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}$

Esim

$Vektorit\ \overline{a}=2\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}\ \left(=\binom{2}{3}\right)\ ja\ \overline{b}=-4\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}\left(=\binom{-4}{3}\right)$

Nyt voidaan laskea vektoreiden pistetulo ja vektoreiden pituudet

$\overline{a}\cdot\overline{b}=2\cdot\left(-4\right)+3\cdot3=1\ sekä\ \left|\overline{a}\right|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\ \ ja\ \overline{b}=\sqrt{\left(-4\right)^2+3^2}=5$
$\cos\alpha=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\left|\overline{a}\right|\left|\overline{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{13}\cdot5}\ \ \Rightarrow\ laskimella\ \alpha\approx86{,}8°$

Huom!

$Jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}>0{,}\ niin\ \alpha\ on\ terävä\ ja\ jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}<0{,}\ niin\ \alpha\ on\ tylppä$

$Erityisesti\ jos\ \overline{a}\cdot\overline{b}=0\ niin\ \alpha=90°\ \left(suora\ kulma\right)$

$Vektoreiden\ kohtisuoruusehto:\ \overline{a}\ \perp\ \overline{b}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{a}\cdot\overline{b}=0$

Kotitehtävät (MAA4,2): 676, 701 ja 702

Kotitehtävät (MAA4,2): 714, 712 ja 710

Kotitehtävät (MAA4,1): 707, 709 ja 714

Kotitehtävät (MAA4,2): 739, 741 ja 743

Kotitehtävät (MAA4,1): 714, 719 ja 736

Kotitehtävät: 745 ja 747