Suora ja ympyrä

Määritä ympyrän keskipiste ja säde, kun ympyrän yhtälö on
$x^2+y^2+6x-7=0$
$x^2+2\cdot3\cdot x+3^2+y^2=7+3^2$
$\left(x+3\right)^2+y^2=16\ \ \ \Rightarrow\ keskipiste\ on\ \left(-3{,}\ 0\right)\ ja\ r=4$
Mikä on suoran y = -x + 6 etäisyys ympyrästä (ympyrän kehästä)?

Lasketaan ensin ympyrän keskipisteen (-3, 0) etäisyys suorasta x + y - 6 = 0

$d=\frac{\left|-3+0-6\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}\approx6{,}3$

$Nyt\ suoran\ ja\ ympyrän\ etäisyys\ on\ d-r=\frac{9}{\sqrt{2}}-4\approx2{,}3$

Jos d < r niin suora leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä

Jos d > r niin suora ja ympyrä eivät leikkaa (suora on ympyrän ulkopuolella)

Jos d = r niin suora sivuaa ympyrää (suoralla ja ympyrällä on yksi leikkauspiste eli sivuamispiste). Tällöin sanotaan, että suora on ympyrän tangentti.

Määritä suoran x + y - 3 = 0 ja ympyrän
$x^2+y^2+6x-9=0\ leikkauspisteet.$

Kyseessä on yhtälöparin ratkaiseminen

$\begin{cases} x+y-3=0\ \ \ \Rightarrow\ \ y=3-x&\\ x^2+y^2+6x-9=0& \end{cases}$

$x^2+\left(3-x\right)^2+6x-9=0$
$x^2+9-6x+x^2+6x-9=0$
$2x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow x^2=0\ \ \ \Leftrightarrow\ x=0$
$nyt\ y=3-0=3$
$leikkauspiste\ tai\ oikeastaan\ sivuamispiste\ on\ \left(0{,}\ 3\right)$

Ympyrän tangentin ominaisuuksia

1. Tangentilla ja ympyrällä on yksi yhteinen piste, sivuamispiste.

2. Ympyrän keskipisteen etäisyys tangentista (suora) on ympyrän säde. (Ympyrän keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista). Tällä on helppo osoittaa, että suora on ympyrän tangentti.

3. Jos ympyrän säde piirretään ympyrän ja tangentin sivuamispisteeseen niin säde on aina kohtisuorassa tangettia vastaan. Tässä voidaan käyttää kohtisuoruusehtoa: säteen ja tangentin kulmakertoimien tulo on -1.

$k_rk_t=-1$

Kotitehtävät (Maa4,1) : 462 ja 464

Kotitehtävät (Maa4,2): 453, 464a ja 468b (näytä, että piste on ympyrän kehällä)

Kotitehtävät (Maa4,1) : 459 ja 465

Kotitehtävät (Maa4,2): 463 ja 469