4. Korkeamman asteen polynomifunktiot

Yleinen potenssi ja juuri

Yleinen potenssifunktio ja juuri

Neliöjuuren määritelmän mukaan

$\sqrt{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b\ge0\ ja\ b^2=a$

Luvun a kuutiojuurta (3. juuri) merkitään

$\sqrt[3]{a}{,}\ jonka\ määritelmä:\ \sqrt[3]{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ \ b^3=a\ \left(b\ voi\ olla\ myös\ negatiivinen{,}\ samoin\ a\right)$

Luvun a yleistä juurta eli n. juurta merkitään

$\sqrt[n]{a}{,}\ jonka\ määritelmä:\ \sqrt[n]{a}=b\ \ \Leftrightarrow\ b^n=a$

$Huom!\ Jos\ n\ on\ parillinen\ niin\ b\ge0$

Ratkaise yhtälö

$a.\ \ 54x^3+2=0\ \ \left(3.\ asteen\ yhtälö\right)$

ratkaistaan ensin x^3:n suhteen

$54x^3=-2\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3=-\frac{2}{54}=-\frac{1}{27}\ \ \mid\sqrt[3]{}$

$\Leftrightarrow\ x=\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}=-\frac{1}{3}$
$Voidaan\ päätellä\ myös\ siten{,}\ että\ \left(-\frac{1}{3}\right)^3=-\frac{1}{27}$

$b.\ \ \ x^4-1=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x^4=1\ \ \mid\sqrt[4]{}$

$\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[4]{1}=\pm1$

Huom!

$1^4=1\ \ ja\ \left(-1\right)^4=1$

Korkeamman asteen yhtälö ja epäyhtälöt

Korkeamman asteen yhtälöt

- ovat muotoa p(x) = 0 (määritetään polynomin p(x) nollakohdat), jossa polynomin asteluku on 3, 4, 5, jne

$2.\ asteen\ yhtälöt:\ ax^2+bx+c=0$
$3.\ asteen\ yhtälöt:\ ax^3+bx^2+cx+d=0$

- ei löydy yleistä ratkaisukaavaa

- ratkaiseminen:

1. Jaetaan polynomi p(x) enintään 2. astetta oleviin tekijöihin

2. Käytetään tulon nollasääntöä

Huom! Yhtälöissä, joissa on vain korkeimman asteluvun termi ja vakiotermi, ei tarvita tekijöihinjakoa

$esim.\ \ \ 16x^3+2=0\ \ tai\ x^4-16=0$

Kotitehtävät: 422, 424, 429b, 387

Ratkaise yhtälö

$a.\ \ x^3-x^2-2x=0$

Huomataan, että saadaan x yhteiseksi tekijäksi

$x\left(x^2-x-2\right)=0$

tulon nollasäännön mukaan

$x=0\ \ tai\ x^2-x-2=0\ \ \left(ratk\ vielä\ 2.\ asteen\ yhtälö\right)$

$x=\frac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2\right)}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$
$x=2\ \ tai\ x=-1$

Yhtälön ratkaisut: x = 0, x = 2 ja x = -1

$b.\ \left(2x+1\right)\left(x^2+3x\right)=0$

Nyt voidaan suoraan käyttää tulon nollasääntöä

$2x+1=0\ \ \ tai\ x^2+3x=0$

$x=-\frac{1}{2}\ \ tai\ \ x\left(x+3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ x=0\ tai\ x=-3$

$c.\ 2x^4+3x^2=0$

$nyt\ yhteinen\ tekijä\ on\ x^2{,}\ sillä\ x^4=x^2\cdot x^2$
$x^2\left(2x^2+3\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=0\ \ tai\ 2x^2+3=0$
$x=0\ tai\ x^2=-\frac{3}{2}\ \ \left(ei\ ole\ ratkaisua\right)$
$d.\ \ x^2\left(2x-3\right)-4\left(2x-3\right)=0$

Huomataan, että yhteinen tekijä on 2x - 3

$\left(2x-3\right)\left(x^2-4\right)=0$

$2x-3=0\ \ tai\ x^2-4=0$
$x=\frac{3}{2}\ \ tai\ x^2=4\ \ \Leftrightarrow\ x=\pm2$

Ratkaise yhtälö

$x^3+3x^2+2x+6=0$

Yhteistä tekijää ei näyttäisi olevan. Yritetään jakaa tekijöihin ryhmittelemällä: katsotaan polynomin kahta eka termiä ja viimeisiä termejä erikseen

$x^3+3x^2=x^2\left(x+3\right)\ ja\ 2x+6=2\left(x+3\right)$

$x^2\left(x+3\right)+2\left(x+3\right)=0\ \ \left(yhteinen\ tekijä\ on\ x+3\right)$
$\left(x+3\right)\left(x^2+2\right)=0$
$x=-3\ \ tai\ x^2=-2\ \left(ei\ ratkaisua\right)$
$eli\ x=-3$

Kotitehtävät: 430, 435 ja 440 ab

Korkeamman asteen epäyhtälöt

Ratkaise epäyhtälö

$-x^3+4x^2>3x$

Muokataan epäyhtälö perusmuotoon eli muotoon p(x) > 0 (p(x)<0)

$-x^3+4x^2-3x>0$

Ratkaistaan vastaava yhtälö p(x) = 0 eli määritetään polynomin p(x) nollakohdat, koska polynomifunktio merkki voi vaihtua vain nollakohdissa (eli funktion arvo voi muuttua positiivisesta negatiiviseksi tai päivastoin vain nollakohdissa).

$-x^3+4x^2-3x=0$
$x\left(-x^2+4x-3\right)=0$
$x=0\ tai\ -x^2+4x-3=0$
$x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)}}{-2}=\frac{-4\pm2}{-2}$
$x=1\ \ tai\ x=3$
$eli\ p\left(x\right):n\ nollakohdat\ ovat\ x=0{,}\ x=1\ ja\ x=3$

Laaditaan merkkikaavio, johon merkitään nollakohdat sekä lasketaan polynomin arvoja nollakohtien välissä

$\begin{array}{l|l} p\left(x\right)\ \ \ \ \ \ +\ \ &0\ \ \ \ -\ \ \ &1\ \ \ \ +\ \ \ &3\ \ \ -\ \ \\ \hline &&& \end{array}$

p(-1) >0, p(0,5) < 0, p(2) > 0 ja p(4) <0

Merkkikaaviosta nähdään, että

$-x^3+4x^2-3x>0{,}\ kun\ x<0\ tai\ 1<x<3$

Kotitehtävät: 445, 449c, 451

Yleinen potenssifunktio ja juuri

Korkeamman asteen yhtälöt

Kotitehtävät: 430, 435 ja 440 ab Korkeamman asteen epäyhtälöt

Kotitehtävät: 430, 435 ja 440 ab

Korkeamman asteen epäyhtälöt