Ympyrän yhtälöt

Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa

Ympyrän keskipiste on A(x₀, y₀) ja yleinen kehän piste B(x, y)
Ympyrän määritelmän mukaan ympyrän kehän jokainen piste B(x, y) on säteen r etäisyydellä ympyrän keskipisteestä A(x₀, y₀) eli säde on pisteiden A ja B välinen etäisyys (janan AB pituus)

$r=AB$
$r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}$
$r^2=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0^{ }\right)^2$
$eli\ ympyrän\ yhtälö\ keskipistemuodossa{,}\ jossa\ keskipiste\ on\ \left(x_0{,}\ y_0\right)\ ja\ säde\ r\ on$
$\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$

Olkoon ympyrän keskipiste (3, 2) ja säde r = 3. Nyt ympyrän yhtälö voidaan kirjoittaa keskipistemuotoon

$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=3^2$

$Mikä\ on\ ympyrän\ keskipiste\ ja\ säde{,}\ kun\ ympyrän\ yhtälö\ on\ \left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=10$
$x+2=0{,}\ kun\ x=-2\ ja\ y-4=0{,}\ kun\ y=4\ \ \Rightarrow\ keskipiste\ on\ \left(-2{,}\ 4\right)$
$säde\ r=\sqrt{10}{,}\ sillä\ r^2=10$

Kotitehtävät (ryhmä 4.1): 406, 408, 409 ja 414
Kotitehtävät (ryhmä 4.2): 408, 409 ja 414

Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö voidaan muokata myös ns. normaalimuotoon avaamalla sulkeet (binomin neliöt) ja ryhmittelemällä termit yhtälön vasemmalle puolelle (oikealle puolelle jää nolla)

$\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=5\ \ \left(\Rightarrow keskipiste\ on\ \left(-2{,}\ 4\right)\ ja\ r=\sqrt{5}\right)$

$Huom!\ \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

$x^2+4x+4+y^2-8y+16=5$

$x^2+y^2+4x-8y+15=0$

Tämä on kyseisen ympyrän yhtälö normaalimuodossa

Yleisesti ympyrän yhtälö normaalimuodossa on

$x^2+y^2+ax+by+c=0{,}\ jossa\ a{,}\ b\ ja\ c\ ovat\ vakioita$

Ympyrän yhtälön muokkaaminen keskipistemuodosta yleiseen eli normaalimuotoon on helpohkoa, jossa käytetään vain binomin neliötä.

$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$

$x^2-4x+4+y^2-2y+1=4$
$x^2+y^2-4x-2y+1=0$

Kun ympyrän yhtälöä muokataan yleisestä muodosta keskipistemuotoon, joudutaan täydentämään binomin neliöksi. Tämä on hieman työläämpää.

esim jos ympyrän yhtälö on normaali- eli yleisessä muodossa seuraava:

$x^2+y^2+6x-8y+20=0$

ryhmitellään termit siten, että x- ja y-termit ovat peräkkäin ja vakiotermi siirretään oikealle puolle

$x^2+6x+y^2-8y=-20$

Nyt yhtälö joudutaan täydentämään binomin neliöksi sekä x:n että y:n suhteen, jolloin joudutaan yhtälön molemmille puolille lisäämään sopivia lukuja (jotta saadaan binomin neliö)

$x^2+6x+3^2+y^2-8y+4^2=-20+3^2+4^2$
$\left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=5\ \ \Rightarrow\ keskipiste\ on\ \left(-3{,}\ 4\right)\ ja\ r=\sqrt{5}$

Kotitehtävät (Maa4,1) : 430, 431 ja 433

Kotitehtävät (Maa4,2): 428, 431 ja 433

Kotitehtävät (Maa4,1): 428 (441), 451 ja 457

Kotitehtävät (Ma4,2): 436, 438 ja 452