5.1 Yleistä epäyhtälöistä

Epäyhtälöt


Yhtälössä kahden lausekkeen välillä on yhtäsuuruusmerkki [[$=$]].

Epäyhtälö eroaa yhtälöstä siten, että siinä kahden lausekkeen välillä on epäyhtälömerkki [[$ <,≤, >, ≥ $]] tai [[$ ≠ $]].

Epäyhtälö on muotoa
[[$ f(x) < g(x) $]] [[$ f(x) $]] on pienempi kuin [[$ g(x) $]]
[[$ f(x) \leq g(x) $]] [[$ f(x) $]] on pienempi tai yhtä suuri kuin [[$ g(x) $]]
[[$ f(x) > g(x) $]] [[$ f(x) $]] on suurempi kuin [[$ g(x) $]]
[[$ f(x) \geq g(x) $]] [[$ f(x) $]] on suurempi tai yhtä suuri kuin [[$ g(x) $]]
[[$ f(x) \neq g(x) $]] [[$ f(x) $]] on erisuuri kuin [[$ g(x) $]]

Epäyhtälö voidaan lukea joko vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle. Tällöin pitää katsoa, kumpaan suuntaan epäyhtälömerkki osoittaa.

Esimerkiksi

[[$ f(x)<g(x) $]] on sama kuin [[$ g(x)>f(x) $]]. Edellinen luetaan "[[$ f(x) $]] on pienempi kuin [[$ g(x) $]]" ja jälkimmäinen "[[$ g(x) $]] on suurempi kuin [[$ f(x) $]]".

Epäyhtälön laskusääntöjä

Epäyhtälöön pätevät osittain samat laskusäännöt kuin yhtälöön (kohdat 1–3).
Ainoa muutos tulee kerrottaessa tai jaettaessa negatiivisella luvulla tai lausekkeella (kohta 4).

1. Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama joko positiivinen tai negatiivinen luku tai lauseke.


Esimerkki 1

[[$$\begin{align}3 &<4 &\|&+2\\3+2 &<4+2\\5&<6&& \text{edelleen tosi}\end{align}$$]]


2. Epäyhtälön molemmat puolet, eli kaikki termit, voidaan kertoa tai jakaa positiivisella luvulla tai lausekkeella.


Esimerkki 2

[[$$\begin{align}3 &<4 &\| &\cdot2\\3\cdot2 &<4\cdot2\\6&<8&& \text{edelleen tosi}\end{align}$$]]


3. Epäyhtälöä ei saa kertoa eikä etenkään jakaa nollalla.


Esimerkki 3

[[$$\begin{align}3 &<4 &\| &\cdot0\\3\cdot0 &<4\cdot0\\0&<0&& \text{epätosi}\end{align}$$]]

Nollalla ei voi kertoa, koska lauseen totuusarvo saattaa muuttua.


4.Jos epäyhtälön molemmat puolet, eli kaikki termit, kerrotaan tai jaetaan negatiivisella luvulla tai lausekkeella, epäyhtälömerkin suunta käännetään



Esimerkki 4

[[$$ \begin{align}a&>b&\|&+(-b)\\a-b&>0&\|&\cdot c\end{align}$$]]
jos [[$c$]] on negatiivinen, niin tulon merkkisäännön perusteella tulo [[$c(a-b)$]] on negatiivinen.
[[$$\begin{align}c(a-b)&<0&& \text{poistetaan sulut}\\ca-cb&<0&\|&+cb\\ca<cb\end{align} $$]]
Vertaamalla ylintä ja alinta riviä, nähdään, että kohdan 4 alussa esitetty väittämä on yleispätevä.

Tämä on huomattava myös silloin, kun epäyhtälö kerrotaan tai jaetaan lausekkeella, joka sisältää tuntemattoman, esimerkiksi muuttujalla [[$ x $]], jonka merkkiä ei tiedetä.

  • Jos [[$ x $]] on negatiivinen, epäyhtälömerkki pitää kääntää.
  • Jos [[$ x $]] on positiivinen, merkki ei käänny.
Muuttujalla [[$ x $]] jakamisessa pitää huomioida myös, että nollalla ei saa jakaa, joten [[$ x $]] ei voi olla nolla eli [[$ x\neq0$]]. Sen takia muuttujalla [[$ x $]] kertomisessa tai jakamisessa tulee olla hyvin varovainen ja on varmempaa välttää sillä kertomista tai jakamista.

Epäyhtälön ratkaisu

Epäyhtälön ratkaisu ilmoitetaan joko epäyhtälönä tai reaalilukuvälinä. Ratkaisu voidaan esittää myös lukusuoralla.


Epäyhtälön ratkaisulle on kolme vaihtoehtoa:

1) Epäyhtälö toteutuu ehdollisesti joillakin muuttujan [[$ x $]]​ arvoilla, esimerkiksi [[$ 0<x<5 $]]. Tällöin epäyhtälön ratkaisu on [[$ 0<x<5 $]]. Jos ratkaisu on muotoa [[$ x\neq a $]], ratkaisujoukkoon kuuluvat kaikki muut reaaliluvut kuin [[$ a $]] eli [[$ x $]] on erisuuri kuin [[$ a $]].

2) Epäyhtälö on identtisesti tosi. Jos epäyhtälö sievenee muotoon, joka on aina tosi, esimerkiksi [[$ 3 < 4 $]]​, epäyhtälö toteutuu kaikilla määrittelyjoukkoon kuuluvilla muuttujan [[$ x $]] arvoilla.

3) Epäyhtälö on identtisesti epätosi eli sillä ei ole ratkaisua. Jos epäyhtälö sievenee muotoon, joka on aina epätosi eli ei päde millään muuttujan [[$ x $]] arvoilla, esimerkiksi [[$ 3>4 $]], epäyhtälöllä ei ole ratkaisua.