Tason kantavektorit

xy-koordinaatiston (tason) kantavektorit ovat yksikkövektorit
\overline{\text{i}}=\binom{1}{0}\ ja\ \ \overline{\text{j}}=\binom{0}{1}{,}\ jossa\ \overline{\text{i}}\ on\ x-akselin\ ja\ \ \overline{\text{j}}\ on\ y-aks\ suuntainen
\left|\overline{\text{i}}\right|=\left|\overline{\text{j}}\right|=1\ \left(=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{0^2+1^2}\right)\ sekä\ \overline{\text{i}}\perp\overline{\text{j}}\ \left(ovat\ kohtisuorassa\right)
 
Jokainen tason vektori voidaan esittää kantavektoreiden 
\overline{\text{i}}\ \ ja\ \overline{\text{j}} avulla
Esim
vektori\ \binom{3}{-2}=\binom{3}{0}+\binom{0}{-2}=3\cdot\binom{1}{0}+\left(-2\right)\cdot\binom{0}{1}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}

Yleisesti\ vektori\ \overline{a}=\binom{x}{y}=x\overline{\text{i}}+y\overline{\text{j}}

Kahden pisteen välinen vektori
Olkoon\ A\left(x_1{,}\ y_1\right)\ ja\ B\left(x_2{,}\ y_2\right).\ Nyt\ vektori\ \overline{AB}=\left(x_2-x_1\right)\overline{\text{i}}+\left(y_2-y_1\right)\overline{\text{j}}\ =\binom{x_2-x_1}{y_2-y_1}
 
Huom! Kantavektoreiden avulla muodostettu vektori voidaan esittää komponenttimuodossa ja päinvastoin

Esim\ vektori\ \overline{u}=4i-3\overline{\text{j}}=\binom{4}{-3}
vektorin\ \overline{u}\ pituus{,}\ \left|\overline{u}\right|=\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}=5


Paikkavektori

 
Paikkavektorin alkupiste on aina origo
 
Pisteen A(2, 3) paikkavektori on vektori, jonka alkupiste on origo ja loppupiste A(2, 3) ⇒
\overline{OA}=\binom{2}{3}=2\overline{\text{i}}+3\overline{\text{j}}
 
Jos tiedetään, että vektori on paikkavektori
\overline{OB}=-\overline{\text{i}}-4\overline{\text{j}}\ \ \Rightarrow\ \ B\left(-1{,}\ -4\right)



Yksikkövektori
 
Vektorin\ \overline{a}\ yksikkövektoria\ merkitään\ \overline{a}^0

Vektorin yksikkövektori on kyseinen vektori jaettuna tämän vektorin pituudella

\overline{a}^0=\frac{\overline{a}}{\left|\overline{a}\right|}\left(=\frac{1}{\left|\overline{a}\right|}\cdot\overline{a}\right)
esim\ vektorin\ \overline{a}=3\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}\ \left(=\binom{3}{-2}\right)yksikkövektori

\left|\overline{a}\right|=\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{13}\ \ \Rightarrow\ \overline{a}^0=\frac{\overline{a}}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\overline{\text{i}}-\frac{2}{\sqrt{13}}\overline{\text{j}}

Kotitehtävät (Maa4,2): 671, 672 ja 677
Kotitehtävät (Maa4,1): 674, 676 ja 657