Pyörähdys x- ja y-akselin ympäri

Käyrän y = f(x) ja x-akselin rajaama alue pyörähtää x-akselin ympäri välillä [a, b]. Pyörähdyskappaleen voidaan ajatella muodostuvan ohuista ympyrälieriösiivuista.

$Ympyrälieriön\ tilavuus\ V=\pi r^2h$

$Ajatellaan\ yhtä\ ohutta\ tilavuusalkiota\ kohdassa\ x.\$

$Pohjaympyrän\ säde\ on\ pisteen\ \left(x{,}\ y\right)\ y-koordinaatin\ etäisyys\ x-akselista\ eli\ r=y=f\left(x\right)$
$Lieriön\ korkeus\ eli\ tilavuusalkion\ paksuus\ h=dx$
$Nyt\ yhden\ tilavuusalkion\ tilavuus\ dV=\pi y^2dx=\pi f\left(x\right)^2dx$
$Kun\ integroidaan\ eli\ summataan\ kaikki\ välin\ \left[a{,}\ b\right]\ tilavuusalkiot$
$saadaan\ pyörähdyskappaleen\ tilavuus\ V=\pi\int_a^bf\left(x\right)^2dx$

Jos pyörähdys tapahtuu y-akselin ympäri niin pyörähdyssäde on pisteen (x, y) x-koordinaatin etäisyys y-akselista ja korkeutena dy. Tällöin käyrän yhtälö y = f(x) joudutaan ratkaisemaan x:n suhteen, jolloin funktiossa on muuttujana y eli funktio on muotoa x = g(y)

$Nyt\ pyörähdyskappaleen\ tilavuus\ V=\pi\int_a^bx^2dy=\pi\int_a^bg\left(y\right)^2dy$

Huom! rajat a ja b ovat y:n arvoja