2.2 Sinin ja kosinin derivaatat

248

funktio on kasvava kun sen derivaatta on positiivinen
a)
$f\left(x\right)=x+\cos x-1$
$f'\left(x\right)=-\sin x+1$
$f'\left(x\right)=0$
$-\sin x=-1$
$\sin x=1$

$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

funktion derivaatta on aina positiivinen tai nolla, funktio on siis kasvava

funktion muutosnopeus on nolla funktion nollakohdissa $x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

b)
$f\left(x\right)=x^3+3x+2\sin x$
$f'\left(x\right)=3x^2+3+2\cos x$
$3x^2+3+2\cos x=0$

$2\cos x+3x^2=-3$

derivaatta ei saa arvoa nolla

245

$f\left(x\right)=3x\sin x$

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}$

$f'\left(x\right)=3x\cos+3\sin x$
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=3$
c)
$g\left(x\right)=3x$

244

$f\left(x\right)=3-2x+6\sin x$

tangentin halutaan olevan suoran $y=-5x+6\$ suuntainen

tangentin kulmakertoimen, eli funktion derivaatan on siis oltava silloin -5

$f'\left(x\right)=6\cos x-2$
$6\cos x=-3$

yksi ratkaisu

$x=\frac{2\pi}{3}$

kaikki ratkaisut

$x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi\ tai\ -\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$

242

a)
$D\ \frac{2}{\cos x}=\frac{-\sin x-\cos x}{\cos^2x}$
b)

$D\ \frac{2x}{\cos x}=\frac{2\cos x+2x\sin x}{\cos^2x}=\frac{2\left(\cos x+x\sin x\right)}{\cos^2x}$
c)
$D\frac{\cos x}{2}=\frac{-2\sin x}{4}=\frac{-\sin x}{2}$

241

a)
$D\left(x^{10}\sin x\right)$
$f\left(x\right)=x^{10}{,}\ f'\left(x\right)=10x^9$
$f\left(x\right)=\sin x{,}\ f'\left(x\right)=\cos x$
$D\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$
$D\left(x^{10}\sin x\right)=10x^9\sin x+x^{10}\cos x$
b)
$D\left(x^{10}+\cos x\right)=10x^9-\sin x$
c)
$D\left(\sin x\cos x\right)$
$f\left(x\right)=\sin x{,}\ f'\left(x\right)=\cos x$
$g\left(x\right)=\cos x{,}\ g'\left(x\right)=-\sin x$
$D\left(\sin x\cos x\right)=\cos^2x-\sin^2x$

240

funktion kuvaajalle piirretty tangentti on kohtisuora, kun derivaatta kohdassa on nolla
$f\left(x\right)=2x+\cos x$
$f'\left(x\right)=-\sin x+2$
$f'\left(x\right)=0$
$-\sin x=-2$

$\sin x=2$

sini saa arvoja vain väliltä [0,1]

funktion derivaatalla ei ole nollakohtia, jolloin funktiolle piirretyt tangentit eivät ole koskaan vaakasuoria

239

a)
$kuvaaja\ 1\ f'\left(x\right)$
$kuvaaja\ 2\ f\left(x\right)$
b)

$f'\left(x\right)=0{,}\ \left[0{,}\pi\right]$

$x=0{,}\ \frac{\pi}{2}{,}\ \pi$
c)

funktion f suurin muutosnopeus on 2

se saavutetaan välillä $\left[-\frac{\pi}{2}{,}\ \frac{3\pi}{2}\right]$ kohdissa $x=\frac{\pi}{4}{,}\ \frac{5\pi}{4}$

234

funktion arvo kohdassa nolla

$f\left(0\right)=1$

derivaattafunktion nollakohdat välillä [0,4π]

$f'\left(x\right)=0{,}\ \left[0{,}4\pi\right]$
$x=\frac{\pi}{2}{,}\ \frac{3\pi}{2}{,}\ \frac{5\pi}{2}{,}\ \frac{7\pi}{2}$
b)
funktion arvo kohdassa nolla
$f\left(x\right)=2\sin x+1$
$f\left(0\right)=2\cdot0+1=1$
derivaatan nollakohdat
$f\left(x\right)=2\sin x+1$
$f'\left(x\right)=2\cos x$

$2\cos x=0$

yksi ratkaisu

$x=\frac{\pi}{2}tai\ -\frac{\pi}{2}$

$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi\ tai\ x=-\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

voidaan yhdistää

$x=\frac{\pi}{2}+n\cdot\pi$

lasketaan seuraavaksi kaikki nollakohdat annetulla välillä sijoittamalla arvoja n

$x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2}\ hyl.$
$x=\frac{\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{2}+3\pi=\frac{7\pi}{2}$
$x=\frac{\pi}{2}+4\pi=\frac{9\pi}{2}\ hyl.$

kaikki derivaattafunktion nollakohdat välillä [0,4π] ovat

$x=\frac{\pi}{2}{,}\ \frac{3\pi}{2}{,}\ \frac{5\pi}{2}{,}\ \frac{7\pi}{2}$

257

$f\left(x\right)=\cos x$
$f'\left(x\right)=-\sin x$
$f''\left(x\right)=-\cos x$
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$

235

$f\left(x\right)=2\sin x-x$

$f'\left(x\right)=2\cos x-1$

$f'\left(0\right)=2-1=1$

$f'\left(x\right)=0$
$2\cos x-1=0$
$\cos x=\frac{1}{2}$
$x=\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$

tai

$x=-\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi$

$f'\left(3\pi\right)=2\cos3\pi-1=-3$

233

$f\left(x\right)=4x-2\sin x$
a)
$f'\left(x\right)=-2\cos x+4$
b)
$f'\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-2\left(-\frac{1}{2}\right)+4=5$

232

a)
$D\sin x=\cos x$
b)
$D\ 5\sin x+\pi=5\cos x$
c)
$D\ 2x+7\cos x=-7\sin x+2$
d)
$D\ x^4-5x^3-4\cos x=4x^3-15x^2+4\sin x$
e)
$D\ \frac{\sin x}{3}=\frac{3\cos x-9\sin x}{9}$
f)
$D\ \frac{\sin x-2\cos x}{2}$
$f\left(x\right)=\sin x-2\cos x$
$f'\left(x\right)=\cos x+2\sin x$
$g\left(x\right)=2$
$g'\left(x\right)=0$
$D\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}=\frac{2\left(\cos x+2\sin x\right)\cdot0\left(\cos x+2\sin x\right)}{4}=\frac{2\cos x+4\sin x}{4}$
$=\frac{\cos x+2\sin x}{2}$

jutskaputska

Lause

$D\sin x=\cos x$
$D\cos x=-\sin x$

esimerkki

määritä

$f'\left(x\right)$ , kun $f\left(x\right)=2\sin x+\cos x$
$f'\left(x\right)=2\cos x-\sin x$

$f'\left(\frac{\pi}{2}\right){,}\ kun\ f\left(x\right)=\sin x-3\cos x$
$f'\left(x\right)=\cos x+3\sin x$
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=0+3\cdot1=3$

esimerkki

derivoi

$h\left(x\right)=x^3\cos x$
$h'\left(x\right)=3x^2\cos x-x^3\sin x$

$h\left(x\right)=\frac{\sin x}{\cos x}$
$h'\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g'\left(x\right)}{\left(g\left(x\right)\right)^2}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$