4.1 Yhdistetty funktio

416

a) $f\left(1\right)=3$
b) $f\left(4\right)=2$
c) $g\left(f\left(1\right)\right)=2$
d) $g\left(f\left(2\right)\right)=4$
e) nollakohta on $x=4$

405

a)

$f\circ g=3\cos\left(x\right)$

arvojoukko $\text{]}-3{,}3\text{[}$

$g\circ f=\cos\left(3x\right)$

arvojoukko $\text{]}-1{,}1\text{[}$

b)

$f\left(g\left(x\right)\right)=2$ on ratkaisuja, koska 2 on arvojoukossa

$g\left(f\left(x\right)\right)=2$ ei ole ratkaisuja, koska 2 on arvojoukon ulkopuolella

404

a)
$u\left(x\right)=\sin x$
$s\left(x\right)=\frac{x}{4}$
b)
$u\left(x\right)=x^3$
$s\left(x\right)=-x+5$

403

a)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\sin3x$
$u\left(s\left(\pi\right)\right)=0$

b)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\sin\frac{x}{3}$
$u\left(s\left(\pi\right)\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

c)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
$u\left(s\left(\pi\right)\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1$

402

a)
$u\left(x\right)=x^5$

$s\left(x\right)=4x+1$

b)

$u\left(x\right)=\tan x$
$s\left(x\right)=2x-1$

c)

$u\left(x\right)=\cos x$
$s\left(x\right)=x^{10}$

d)
$u\left(x\right)=x^{10}$
$s\left(x\right)=\cos x$

401

a)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\left(3x+2\right)^5$

b)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\tan\left(4x+5\right)$

c)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\sin^4x$

d)

$u\left(s\left(x\right)\right)=\sin x^4$

uupalloäs ja äspallouu

$f\left(x\right)=x^2+2\sin x$

$h\left(x\right)=\left(2x+3\right)^2+2\sin\left(2x+3\right)$

määritelmä

lauseke $u\left(s\left(x\right)\right)$ on funktioiden $u\left(x\right)\ ja\ s\left(x\right)$ yhdistetty funktio

$u\left(x\right)$ on ulkofunktio ja $s\left(x\right)$ sisäfunktio

Merkitään $u\left(s\left(x\right)\right)=\left(u\circ s\right)\left(x\right)$
(luetaan uu pallo äs)

esimerkki

muodosta

$\left(u\circ s\right)\left(x\right)\ ja\ \left(s\circ u\right)\left(x\right)$ , kun

a)

$u\left(x\right)=x^2\ ja\ s\left(x\right)=3x+1$
$\left(u\circ s\right)\left(x\right)=\left(3x+1\right)^2$

$\left(s\circ u\right)\left(x\right)=3x^2+1$

b)

$u\left(x\right)=\cos x\ ja\ s\left(x\right)=x^2+1$
$\left(u\circ s\right)\left(x\right)=\cos\left(x^2+1\right)$
$\left(s\circ u\right)\left(x\right)=\cos^2x+1$

huom! yleensä $\left(u\circ s\right)\left(x\right)\ne\left(s\circ u\right)\left(x\right)$

tulkitse yhdistetyksi funktioksi

a)

$f\left(x\right)=\left(3x^2+2x\right)^2$
$u\left(x\right)=x^2$
$s\left(x\right)=3x^2+2x$

b)

$g\left(x\right)=\frac{3}{1+\sin x}$
$u\left(x\right)=\frac{3}{x}$
$s\left(x\right)=1+\sin x$