1.2 Sini ja kosini yksikköympyrässä

132

a) sin kuvastaa kehäpisteen y-koordinaattia, se on positiivinen ylemmillä neljänneksillä
cos kuvastaa kehäpisteen x-koordinaattia, se on positiivinen oikeanpuoleisilla neljänneksillä
b)
α on tällöin välillä 0°-90°tai0-\frac{\pi}{2}
c)
\cos^2\alpha\sin^2\alpha=1
\sin^2\alpha=0{,}96^2
\cos^2\alpha=1-0{,}96^2
\cos^2\alpha=0{,}0784
\cos\ \alpha=\pm0{,}28
kulman α ollessa tylppä, cos α=-0,28
kulman α ollessa terävä, cos α=0,28

129

a)
\sin390°=\sin30°=\frac{1}{2}
b)
\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\ \frac{7\pi}{4}=\frac{-\sqrt{2}}{2}
c)
\cos2020\pi=\cos0=1
d)
\sin\ \frac{14\pi}{3}=\sin\ \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
e)
\cos\ \frac{11\pi}{4}=\cos\ \frac{3\pi}{4}=\frac{-\sqrt{2}}{2}
f)
\cos\ \frac{29\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}
 

126

a) 0,8
b) 0,3
c) 0
d) -0,8
e) 0
f) 1

125

a)
\sin\ \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
b)
\cos\ \frac{7\pi}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{2}
c) 
\sin\ \frac{8\pi}{3}=\sin\ \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
d)
\cos\ \frac{9\pi}{4}=\cos\ \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}
e)
\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\ \frac{5\pi}{3}=\frac{-\sqrt{3}}{2}
f)
\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\ \frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
 

121

a)
\sin\ \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
b)
\cos\ \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}
c)
\sin\ \frac{3\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}
d)
\cos\ \frac{3\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}

määritelmä

Olkoon P = (x, y) suunnattua kulmaa α vastaava kehäpiste yksikköympyrällä.
Kulman α
a)
kosini on kehäpisteen x-koordinaatti
b)
sini on kehäpisteen y-koordinaatti
Huom: Kehäpiste P =(x, y) = (cos α, sin α)
Huom: -1 ≤ cos α ≤ 1 sekä -1 ≤ sin α ≤ 1
- Kulman kehäpiste ei muutu, jos kulmaan lisätään tai vähennetään täysiä kulmia 2π.
 
Lause
Kaikille n∈ℤ pätee
\sin\ \alpha=\sin\left(\alpha+n\cdot2\pi\right)
\cos\ \alpha=\cos\left(\alpha+n\cdot2\pi\right)


esim
\sin30°=\frac{1}{2}
\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}\right)=\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}
\cos\left(\frac{17}{6}\pi\right)=\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)=\frac{-\sqrt{3}}{2}