4.3 Trigonometristen funktioiden suurimpia ja pienimpiä arvoja

444

a)
pienin arvo 0
suurin arvo 1,91
b)
funktio saa pienimmän ja suurimman arvon suljetulla välillä välin päätepisteissä tai derivaattafunktion nollakohdissa

$f\left(x\right)=x+\sin2x$

välillä $\left[0{,}\frac{3\pi}{4}\right]$

442

a)

funktion $f\left(x\right)=\sin x-\cos x$ suurin ja pienin arvo välillä [0,2π]

suurin ja pienin arvo voidaan saavuttaa välin päätepisteissä tai derivaattafunktion nollakohdissa

$f\left(0\right)=-1$

$f\left(2\pi\right)=-1$

$f'\left(x\right)=\cos x+\sin x$
$\cos x=-\sin x$
$\sin x=-\cos x$
$\frac{\sin x}{\cos x}=-1$
$\tan x=-1$
$x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot\pi{,}\ n\in\mathbb{Z}$

nollakohdista välillä [0,2π] ovat $\frac{3\pi}{4}{,}\ \frac{7\pi}{4}$

funktion arvot derivaattafunktion nollakohdissa

$f\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}$
$f\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

suurin arvo $\sqrt{2}$

pienin arvo $-\sqrt{2}$

b)
jaksollisen funktion f jakso on 2π

koko määrittelyjoukossa riittää selvittää jakson suuruisen välin suurin ja pienin arvo
a-kohdassa

suurin arvo $\sqrt{2}$

pienin arvo $-\sqrt{2}$

441

A2
B1
C3

453

Osoita, että $x-\sin x=5$ on täsmälleen yksi ratkaisu

Bolzanon lause:

funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä ]a,b[, jos

funktio on jatkuva suljetulla välillä [a,b]

funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset

$x-\sin x=5$
$x-\sin x-5=0$

tutkitaan funktiota $f\left(x\right)=x-\sin x-5$

yhtälöllä $x-\sin x=5\$ jos funktiolla $f\left(x\right)$ on täsmälleen yksi nollakohta

Katsotaan Bolzanon lauseen avulla onko funktiolla yhtään nollakohtaa esimerkkivälillä ]π, 2π[

$f\left(\pi\right)=\pi-5<0$
$f\left(2\pi\right)=2\pi-5>0$

funktiolla on siis ainakin yksi nollakohta

tutkitaan funktion monotonisuutta

$f'\left(x\right)=1-\cos x$

koska $-1\le\cos x\le1$ , niin $f'\left(x\right)\ge0$ , joten funktio on kasvava

kasvavalla funktiolla voi olla korkeintaan 1 nollakohta

funktiolla $f\left(x\right)$ on toisaalta ainakin yksi 1 nollakohta

nollakohtia on tasan 1
myös yhtälöllä on tasan yksi ratkaisu