1.4 Siniyhtälö ja kosiniyhtälö

169

a)
2\sin x-1=0
\sin x=\frac{1}{2}
yksi ratkaisu
x=\frac{\pi}{6}
täydellinen ratkaisu
x=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
tai
x=\pi-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
b)
\sin2x-\sin\frac{2\pi}{7}=0
\sin2x=\sin\frac{2\pi}{7}
ei löydy taulukosta, pitää laskea laskimella likiarvo
2x=0{,}78183...
yksi ratkaisu
x=0{,}3909...
täydellinen ratkaisu
x=0{,}3909...+n\cdot2\pi
tai
x=\pi-0{,}3909...+n\cdot2\pi

c)
2\cos4x+1=0
\cos4x=-\frac{1}{2}
4x=\frac{2\pi}{3}
yksi ratkaisu
x=\frac{\pi}{6}
täydellinen ratkaisu
x=\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
tai
x=-\frac{\pi}{6}+n\cdot2\pi
d)
\cos\left(1-x\right)-1=0
\cos\left(1-x\right)=1
yksi ratkaisu
1-x=\frac{\pi}{4}
-x=\frac{\pi}{4}-1
x=1-\frac{\pi}{4}
x=\frac{3\pi}{4}
täydellinen ratkaisu
x=\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi
tai
x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot2\pi

166

a)
\cos4x=-\frac{1}{2}
4x=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi
x=\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{\pi}{2}
tai
4x=-\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi
x=-\frac{\pi}{6}+n\cdot\frac{\pi}{2}
b) mitkä ratkaisuista ovat välillä ]-π,π[
 
-\frac{\pi}{6}\cdot\left(-6\right)+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2} hylätään
-\frac{\pi}{6}\cdot\left(-3\right)+\frac{\pi}{2}=\pi hylätään
-\frac{\pi}{6}\cdot\left(-2\right)+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{6} hyväksytään
 
-\frac{\pi}{6}\cdot\left(-1\right)+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3}
-\frac{\pi}{6}\cdot0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}
-\frac{\pi}{6}\cdot1+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}
-\frac{\pi}{6}\cdot2+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}
-\frac{\pi}{6}\cdot3+\frac{\pi}{2}=0
-\frac{\pi}{6}\cdot4+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{6}
-\frac{\pi}{6}\cdot5+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{3}
-\frac{\pi}{6}\cdot6+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}
-\frac{\pi}{6}\cdot7+\frac{\pi}{2}=-\frac{2\pi}{3}
-\frac{\pi}{6}\cdot8+\frac{\pi}{2}=-\frac{5\pi}{6}
-\frac{\pi}{6}\cdot9+\frac{\pi}{2}=-\pi hylätään
 
ratkaisuista välillä ]-π,π[ ovat
-\frac{5\pi}{6}{,}\ -\frac{2\pi}{3}{,}\ -\frac{\pi}{2}{,}-\frac{\pi}{3}{,}-\frac{\pi}{6}{,}\ 0{,}\ \frac{\pi}{6}{,}\ \frac{\pi}{3}{,}\ \frac{\pi}{2}{,}\ \frac{2\pi}{3}{,}\ \frac{5\pi}{6}

175

a)
\sin3x=\sin2x
3x=2x+n2\pi\ tai\ 3x=\pi-2x+n2\pi

x=n\cdot2\pi\
tai
 
5x=\pi+n\cdot2\pi
x=\frac{\pi}{5}+n\cdot\frac{2\pi}{5}{,}\ n\in\mathbb{Z}
b)
\cos2x-\cos4x=0
\cos2x=\cos4x

2x=4x+n\cdot2\pi
-2x=n\cdot2\pi
x=n\pi
tai
2x=-4x+n\cdot2\pi
6x=n\cdot2\pi
x=n\cdot\frac{\pi}{3}
ratkaisu x=n\pi tarkoittaa kulmia ..., -2π, -π, 0, π, 2π, ...
ratkaisu x=n\cdot\frac{\pi}{3} tarkoittaa kulmia ...{,}\ -\frac{\pi}{3}{,}\ 0{,}\ \frac{\pi}{3}{,}\ \frac{2\pi}{3}{,}\ \pi{,}\ ... eli sisältää ratkaisun x=n\pi kulmat
yhtälön ratkaisu on siis
x=n\cdot\frac{\pi}{3}

164

a)
\cos x=-0{,}55
x=3{,}72
b)
\sin\ x=0{,}71
x=0{,}79
c)
\cos x=-1{,}4
ei ratkaisua
d)
\sin x=-0{,}45
x=-0{,}47

165

a)
6\sin x+3=0
6\sin x=-3
\sin x=-\frac{1}{2}
x=\frac{7\pi}{6}
b)
2\cos x+\sqrt{3}=0
\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}
x=\frac{5\pi}{6}
c)
\sin x+1{,}23=0
\sin x=-1{,}23
siniä x ei ole määritelty kohdassa, ei ratkaisua

173

2\sin\ \frac{x}{3}+\sqrt{2}=0
\sin\ \frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\sin\ \frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}
\frac{5\pi}{4}
kaikki ratkaisut ovat:
\frac{x}{3}=\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi
x=\frac{15\pi}{4}+n\cdot6\pi
tai
\frac{x}{3}=\pi-\frac{5\pi}{4}+n\cdot2\pi
x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot6\pi
 
halutaan ratkaisut välillä ]-12π,12π[
eli
\begin{matrix} n&x=\frac{15\pi}{4}+n\cdot6\pi&x=-\frac{3\pi}{4}+n\cdot6\pi\\ 0&\frac{15\pi}{4}&-\frac{3\pi}{4}\\ 1&\frac{39\pi}{4}&\frac{21\pi}{4}\\ -1&-\frac{9\pi}{4}&-\frac{27\pi}{4}\\ 2&\frac{63\pi}{4}\left(hyl.\right)&\ \frac{45\pi}{4}\\ -2&-\frac{33\pi}{4}&x=-\frac{51\pi}{4}\ \left(hyl.\right)\\ -3&-\frac{57\pi}{4}\left(hyl.\right)& \end{matrix}
ratkaisuista halutulle välille kuuluvat -\frac{33\pi}{4}{,}\ -\frac{27\pi}{4}{,}\ -\frac{9\pi}{4}{,}\ -\frac{3\pi}{4}{,}\ \frac{15\pi}{4}{,}\ \frac{21\pi}{4}{,}\ \frac{35\pi}{4}\ tai\ \frac{45\pi}{4}