4.3 Ympyrä ja suora

450

muutetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoiseksi jotta saadaan selville sen keskipiste ja säde

$x^2+y^2-6x-10y+9=0$

muutetaan keskipistemuotoiseksi

$\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=25$
$säde\ on\ \sqrt{25}=5$
$keskipiste\ \left(3{,}5\right)$
$ympyrä\ sivuaa\ x-akselia\ ja\ leikkaa\ y-akselin$

koska ympyrän etäisyys x-akselista on sama kuin ympyrän säde

ja sen etäisyys y-akselista on pienempi kuin ympyrän säde

lasketaan leikkauspisteet normaalimuotoiseen yhtälöön sijoittamalla

x-akselin leikkauspisteissä y=0

$x^2-6x+9=0$

ratkaisukaavalla

$x=3$
$leikkauspiste\ on\ \left(3{,}\ 0\right)$

y-akselin leikkauspisteissä x=0

$y^{2}-10y+9=0$

ratkaisukaavalla

$y=1\ tai\ y=9$
$leikkauspisteet\ ovat\ \left(0{,}\ 1\right)\ ja\ \left(0{,}\ 9\right)$

449

$x^2+y^2-5x-7y+6=0$

ympyrän ja x-akselin leikkauspisteet

y on oltava 0

$x^2-5x+6=0$

ratkaisukaavalla

$x=2\ tai\ x=3$

leikkauspisteet x-akselin kanssa

$\left(2{,}\ 0\right)\ ja\ \left(3{,}\ 0\right)$

ympyrän ja y-akselin leikkauspisteet

x on oltava 0

$y^2-7y+6=0$

ratkaisukaavalla

$y=1\ tai\ y=6$

leikkauspisteet y-akselin kanssa

$\left(0{,}\ 1\right)\ ja\ \left(0{,}\ 6\right)$

448

a)
$x^2+y^2=25$
$P=\left(3{,}4\right)$
$3^2+4^2=25$
$9+16=25$

$25=25$

piste P on ympyrän kehällä, joten voidaan piirtää yksi sen kautta kulkeva tangentti

$P=\left(5{,}2\right)$

$5^2+2^2=25$
$25+4=25$
$29=25$

pisteen P etäisyys ympyrän keskipisteestä on suurempi kuin ympyrän säde, joten voidaan piirtää kaksi sen kautta kulkevaa tangenttia
c)
$P=\left(4{,}\ 1\right)$
$4^2+1^2=25$
$16+1=25$

$17=25$

pisteen P etäisyys ympyrän keskipisteestä on pienempi kuin sen säde, joten sen kautta ei voida piirtää yhtään tangenttia

441

a)
ympyrän $\left(x-5\right)^2+\left(y+1\right)^2=25$ keskipiste $\left(5{,}-1\right)$
suoran etäisyys pisteestä $\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=$
$\frac{\left|3\cdot5+\left(-4\right)\left(-1\right)+6\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}$
$\frac{\left|25\right|}{\sqrt{25}}=\frac{\left|25\right|}{5}$

$\frac{25}{5}\ \left(tai\ -\frac{25}{5}\right)$

suoran etäisyys keskipisteestä on 5
b)
$5=\sqrt{25}$
$5=5$

suoran etäisyys keskipisteestä on yhtäsuuri kuin säde, suoralla on siis ympyrän kanssa yksi leikkauspiste
siksi a-kohdan suora ja ympyrä ovat kuvassa 2