3.4 Suorien kohtisuoruus

374

$\left(-3{,}4\right)$
$y=-\frac{1}{2}x+3\ \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}x-y+3\ \frac{1}{2}=0$
$\frac{\left|-\frac{1}{2}\cdot\left(-3\right)+\left(-1\right)\cdot4+3\ \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

sus

Tehtävä 2
Suoran yhtälö on $2x-y+3=0$ . Määritä ilman teknisiä apuvälineitä suoran normaalin yhtälö, joka kulkee pisteen (0, 3) kautta.

Suoran yhtälö on $2x-y+3=0$ . Määritä ilman teknisiä apuvälineitä suoran normaalin yhtälö, joka kulkee pisteen (0, 3) kautta.

$kulma\ker roin\ suoralle$
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}\cdot x=-1$
$x=2$

normaalin kulmakerroin on 2 ja se kulkee pisteen (0, 3) kautta

$y-3=2\left(x-0\right)$
$y-3=2x$
$y=2x-3$

Tehtävä 3
Laske pisteen (2, -1) etäisyys suorasta $y=\frac{1}{2}x-3$

$\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\frac{\left|\frac{1}{2}\cdot2+1\cdot\left(-1\right)-3\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1^2}}=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$

378
ympyrän keskipiste P on janojen AC ja BC normaalien leikkauspiste
AC normaali:
$AC\ keskipiste:$
$\left(\frac{4+2}{2}{,}\ \frac{5+1}{2}\right)=\left(3{,}3\right)$
$lasketaan\ janan\ AC\ suuntaisen\ suoran\ kulma\ker roin$
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-1}{4-2}=\frac{4}{2}=2$
$janan\ AC\ kulma\ker toimen\ ja\ normaalin\ tulo\ on\ -1$
$2x=-1$
$x=-\frac{1}{2}$
$y-y_0=k\left(x-x_0\right)$
$y-3=k\left(x-3\right)$
$y=-\frac{1}{2}x+4\ \frac{1}{2}$
$janan\ BC\ keskipiste:$
$\left(\frac{4+7}{2}{,}\ \frac{5+2}{2}\right)=\left(5\ \frac{1}{2}{,}\ 3\ \frac{1}{2}\right)$
$lasketaan\ BC\ suuntaisen\ suoran\ kulma\ker roin$
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-2}{4-7}=-\frac{3}{3}=-1$
$janan\ BC\ kulma\ker toimen\ ja\ normaalin\ tulo\ on\ -1$
$-1x=-1$
$x=1$
$y-y_0=k\left(x-x_0\right)$
$y-3\ \frac{1}{2}=x-5\ \frac{1}{2}$
$y=x+2$
$suorien\ y=-\frac{1}{2}x+4\ \frac{1}{2}\ ja\ y=x+2\ leikkauspiste$
$\begin{cases} -\frac{1}{2}x-y+4\ \frac{1}{2}=0&\\ x-y+2=0& \end{cases}$
$ratkaistaan\ laskimella$
$x=1\ \frac{2}{3}{,}\ y=3\ \frac{2}{3}$
$ympyrän\ keskipiste\ P\ on\ \left(1\ \frac{2}{3}{,}\ 4\ \frac{2}{3}\right)$
380
jotta piste olisi x-akselilla, sen y-koordinaatin on oltava 0
suoran yhtälö x-3y+4
$x-3y+4=0$
$pisteen\ etäisyys\ suorasta\ saadaan\ kaavalla$
$\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$sijoitetaan\ lukuja\ kaavaan$
$\frac{\left|1x+\left(-3\right)0+4\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}=\sqrt{10}$
$\frac{\left|x+4\right|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\ \ \ \ \left|\cdot\sqrt{10}\right|$
$\left|x+4\right|=10$
$x=6\ tai\ -14$
$pisteet\ ovat\ \left(6{,}\ 0\right)\ ja\ \left(-14{,}\ 0\right)$

Muita hyviä tehtäviä: 372, 375, 376, 377, 383, 387, 388 ja 389.