4.2 Taso avaruudessa

439

Pisteen etäisyys tasosta on 45

440

a) (1, 0, 0)
b) (1, 2, 0)
c) (0.14, 0.71, 3.43)

435

suoran ja tason leikkauspiste P=(6,-5,-9)
b)

määritetään suoran suuntavektori

$\overline{AB}=\left(0-2\right)\overline{\text{i}}+\left(-2-\left(-3\right)\right)\overline{\text{j}}+\left(6-1\right)\overline{\text{k}}=-2\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}+5\overline{\text{k}}$

suoran parametriesitys

$\begin{cases} x=2-2t&\\ y=-3+t&\\ z=1+5t& \end{cases}$

tason yhtälö
$x+2y-z-5=0$

sijoitetaan parametriesitys yhtälöön

$2-2t-6+2t-1-5t-5=0$
$-5t-10=0$
$-5t=10$
$t=-2$
$\begin{cases} x=2-2\left(-2\right)&=6\\ y=-3+\left(-2\right)&=-5\\ z=1+5\left(-2\right)&=-9 \end{cases}$
$P=\left(6{,}-5{,}-9\right)$

445

a)
Piirretään kuva

leikkauspiste on B=(-3,1,7)
kulma on 57,2
b)

suuntavektori

$\overline{BA}=\left(-5-\left(-3\right)\right)\overline{\text{i}}+\left(-2-1\right)\overline{\text{j}}+\left(11-7\right)\overline{\text{k}}=-2\overline{\text{i}}-3\overline{\text{j}}+4\overline{\text{k}}$

suoran yhtälö on

$\begin{cases} x=-3-2t&\\ y=1-3t&\\ z=7+4t& \end{cases}$

leikkauspiste tason $x-4y+4z-21=0$

$-3-2t+\left(-4\left(1-3t\right)\right)+4\left(7+4t\right)-21=0$
$-3-2t-4+12t+28+16t-21=0$
$26t=0$
$t=0$
$\begin{cases} x=-3-2\cdot0&\\ y=1-3\cdot0&\\ z=7+4\cdot0& \end{cases}$
leikkauspiste on $\left(-3{,}1{,}7\right)$

tason normaalivektorin $\overline{n}=\overline{\text{i}}-4\overline{\text{j}}+4\overline{\text{k}}$ ja suoran suuntavektorin $\overline{BA}$ välinen kulma

$\overline{n}\cdot\overline{BA}=-2\cdot1-3\cdot\left(-4\right)+4\cdot4=26$

$\left|\overline{BA}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-3\right)^2+4^2}=\sqrt{29}$
$\left|\overline{n}\right|=\sqrt{1^2+\left(-4\right)^2+4^2}=\sqrt{33}$

$\cos\left(\overline{n}{,}\overline{BA}\right)=\frac{\overline{n}\cdot\overline{BA}}{\left|\overline{n}\right|\left|\overline{BA}\right|}=\frac{26}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{29}}=0{,}840460...$
$\cos^{-1}\left(0{,}840460...\right)=32{,}8112...°\approx32{,}8°$

suoran ja tason välinen kulma
$\alpha=90°-32{,}8°=57{,}2°$

432

$2\left(1-2t\right)-\left(2-t\right)+3+t-2=0$
$-2t+1=0$
$t=0{,}5$
$\begin{cases} x=0&\\ y=1{,}5&\\ z=3{,}5& \end{cases}$

431

A3
piste $A=\left(1{,}0{,}2\right)$
$\overline{n}=\overline{\text{i}}-2\overline{\text{j}}+\overline{\text{k}}$
$1\left(x-1\right)-2\left(y-0\right)+1\left(z-2\right)=0$
$x-1-2y+z-2=0$
$x-2y+z-3=0$

B1
piste $A=\left(1{,}0{,}1\right)$
$\overline{n}=\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}+2\overline{\text{k}}$
$1\left(x-1\right)+1\left(y-0\right)+2\left(z-1\right)=0$
$x-1+y+2z-2=0$
$x+y+2z-3=0$

C2
piste $A=\left(0{,}1{,}2\right)$
$\overline{n}=\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}+2\overline{\text{k}}$
$1\left(x-0\right)+1\left(y-1\right)+2\left(z-2\right)=0$
$x+y-1+2z-4=0$
$x+y+2z-5=0$

430

a) Mikä on eräs tason normaalivektori

Tason yhtälö on $-2x+y+3z-4=0$

eräs normaalivektori $\overline{n}=-2\overline{\text{i}}+\overline{\text{j}}+3\overline{\text{k}}$

b)

Ovatko pisteet

$P=\left(1{,}1{,}0\right)$

$Q=\left(1{,}3{,}1\right)$

tasossa?

sijoitetaan pisteet tason yhtälöön

ensin P

$-2\cdot1+1\cdot1+3\cdot0-4=0$
$-5=0$

epätosi, piste P ei ole tasossa

sitten Q

$-2\cdot1+1\cdot3+3\cdot1-4=0$
$0=0$

tosi, piste Q on tasossa
c)

Kuvasta voidaan varmistaa b-kohdan tulokset:
Piste P ei ole tasossa, mutta piste Q on

429

taso kulkee pisteen $A=\left(2{,}1{,}0\right)$ kautta ja jonka eräs normaalivektori on $\overline{n}=\overline{\text{i}}+2\overline{\text{j}}-3\overline{\text{k}}$

muodosta tasolle yhtälö

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$

$1\left(x-2\right)+2\left(y-1\right)-3\left(z-0\right)=0$
$x-2+2y-2-3z=0$
$x+2y-3z-4=0$
b)

taso kulkee pisteen $A=\left(4{,}\ -2{,}\ -3\right)$ kautta ja jonka eräs normaalivektori on $\overline{n}=2\overline{\text{i}}-7\overline{\text{j}}+\overline{\text{k}}$

muodosta tasolle yhtälö

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$

$2\left(x-4\right)-7\left(y-\left(-2\right)\right)+\left(z-\left(-3\right)\right)=0$
$2x-8-7y+14+z+3=0$
$2x-7y+z+9=0$