1.4 Vektorin komponentit

171

a)
ei ole mahdollista, vektori voidaan jakaa erisuuntaisten vektoreiden suuntaisiin komponentteihin vain yhdellä tavalla
b)
$\overline{a}=3\overline{u}-\overline{v}\ =x\overline{b}+y\overline{c}$
$\overline{b}=2\overline{u}+\overline{v}$
$\overline{c}=\overline{u}+2\overline{v}$
$3\overline{u}-\overline{v}=x\left(2\overline{u}+\overline{v}\right)+y\left(\overline{u}+2\overline{v}\right)$

$3\overline{u}-\overline{v}=\left(2x+y\right)r+\left(x+2y\right)t$

$\begin{cases} 2b+c=3&\\ b+2c=-1&\cdot\left(-2\right) \end{cases}$
$\begin{cases} 2b+c=3\\ -2b-4c=2 \end{cases}$
$-3c=5\parallel:\left(-3\right)$
$c=-1\ \frac{2}{3}$
$\begin{cases} 2b-\frac{5}{3}=3\\ b-\frac{10}{3}=-1 \end{cases}$
$3b-5=2$
$3b=7\ \parallel:3$
$b=\frac{7}{3}$

$\begin{cases} b=\frac{7}{3}\\ c=-\frac{5}{3} \end{cases}$

166

$2r\overline{a}+r\overline{b}+t\overline{a}+t\overline{b}=5\overline{a}+2\overline{b}$
$5\overline{a}+2\overline{b}=\left(2r+t\right)\overline{a}+\left(r+t\right)\overline{b}$
$\begin{cases} 2r+t=5&\\ r+t=2&\cdot\left(-1\right) \end{cases}$
$\begin{cases} 2r+t=5\\ -r-t=-2 \end{cases}$
$2r-r=5-2$

$r=3$

$\begin{cases} 2\cdot3+t=5\\ 3+t=2 \end{cases}$
$2t+9=7$
$2t=-2\ \parallel:2$
$t=-1$
$\begin{cases} r=3\\ t=-1 \end{cases}$

165

$\overline{a}=2\overline{u}+3\overline{v}$
$\overline{b}=\overline{u}-2\overline{v}$

168

a)
$\begin{cases} 2a+b=1&\cdot\left(-5\right)\\ 7a+5b=14& \end{cases}$
$\begin{cases} -10a-5b=-5\\ 7a+5b=14 \end{cases}$
$-3a=9\parallel:\left(-3\right)$
$a=-3$
$\begin{cases} 2\left(-3\right)+b=1\\ 7\left(-3\right)+5b=14 \end{cases}$
$\begin{cases} -6+b=1\\ -21+5b=14 \end{cases}$
$\begin{cases} b=7\\ 5b=35 \end{cases}$
$\begin{cases} a=-3\\ b=7 \end{cases}$

b)
$\begin{cases} -2x+4y=-4&\cdot3\\ 3x-6y=6&\cdot2 \end{cases}$
$\begin{cases} -6x+12y=-12\\ 6x-12y=12 \end{cases}$
$12y-12y=12-12$

$y=0$

$\begin{cases} -2x+4\cdot0=-4\\ 3x-6\cdot0=6 \end{cases}$
$\begin{cases} -2x=-4\\ 3x=6 \end{cases}$
$3x-2x=6-4$
$x=2$
$\begin{cases} x=2\\ y=0\\ \end{cases}$

163

$\overline{a}=3\overline{v}+2\overline{u}$
$\overline{b}=-5\overline{v}+2\overline{u}$

169

a)
$\begin{cases} 3x+4y=4&\cdot2\\ -6x+2y=-3& \end{cases}$
$\begin{cases} 6x+8y=8\\ -6x+2y=-3 \end{cases}$
$10y=5\parallel:10$
$y=\frac{1}{2}$

$\begin{cases} 3x+2=4\\ -6x+1=-3 \end{cases}$
$-3x+3=1$
$-3x=-2\ \parallel:\left(-3\right)$
$x=\frac{2}{3}$
$\begin{cases} x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$

b)
$\begin{cases} 3t-r=\frac{3}{2}\ &\cdot2\\ 2t+\frac{2}{3}r=1&\cdot\left(-3\right) \end{cases}$
$\begin{cases} 6t-2r=3\\ -6t-2r=-3 \end{cases}$
$-4r=0$
$r=0$
$\begin{cases} 3t-0=\frac{3}{2}\\ 2t+\frac{2}{3}\cdot0=1 \end{cases}$
$\begin{cases} 3t=\frac{3}{2}\\ 2t=1 \end{cases}$
$5t=\frac{5}{2}\ \parallel:5$
$t=\frac{1}{2}$

$\begin{cases} t=\frac{1}{2}\\ r=0 \end{cases}$