GeoGebra
GeoGebraa ilmiöiden ymmärtämiseksi
GeoGebra on sivusto, jota käytetään mm. ylioppilaskirjoituksissa.
GeoGebralla voimme tutkia ilmiöitä matemaattisesti ja visuaalisesti.
Tutkittava ilmiö on ääni. Miten ympyrä ja trigonometria liittyvät ääneen?
Oppitunnin sisällöt ja tavoitteet:
Työskentelyn kuvaus:
Tehtävä 1: Yksikköympyrän piirtäminen
Piirrä aluksi ympyrä, jonka säteeksi annat arvon yksi ja keskipisteeksi merkitset origon:
Piirrä ympyrä työkalulla 'Ympyrä: Keskipiste ja säde':
Poista myös ympyräviivan nimi. Valitse ympyräviiva ja sen jälkeen valikosta kolme pistettä, jolloin pääset käsiksi viivan asetuksiin:
Vihje: Milloin tahansa annat vääriä komentoja, peru ne Crl+Z -näppäinyhdistelmällä.
Vihje: Jokaisella kohteella on GeoGebrassa asetukset, joita voit tarkentaa ja määritellä erikseen näytön sivussa olevassa näkymässä.
Vihje: Usein tulee tehtyä virhevalintoja sen vuoksi, että jokin työkalu on jäänyt valituksi. Välttääksesi tämän, valitse 'Siirrä tai valitse objekti' -työkalu:
Tehtävä 2: Suorakulmaisen kolmion piirtäminen
Piirrä aluksi x-akselille normaali ja merkitse ympyräviivalle piste suunnilleen kuvan esimerkin mukaisesti:
Tämä normaali ja siihen liittyvä piste ovat avuksi suorakulmaista kolmiota varten. Yksi suorakulmaisen kolmion kyljistä sijoittuu x-akselille.
Piirrä sitten 'Monikulmio' -työkalun avulla suorakulmainen kolmio seuraavaan tapaan:
Varmista, että kaikki pisteet osuvat täsmälleen paikalleen (Tässä kuvassa A origossa, B normaalin ja kehän leikkauspisteessä ja C x-akselilla.
Vihje: Geogebrassa kannattaa piirtää objekteja, jotka auttavat halutun ilmiön toteuttamista. Ne voi piilottaa näkyvistä sitten kun konstruktio on valmis. Tässä tehtävässä normaali on tuollainen apuobjekti.
Tehtävä 3: Kulman merkitseminen radiaaneina
Olemme oppineet, että ympyrän kehän pituus on kaksi kertaa pii kertaa säde.
Yksikköympyrämme säde on yksi, joten ympyrämme kehän pituus on kaksi kertaa pii.
Mutta kaksi kertaa pii on myös luku, joka ilmoittaa täyden kulman suuruuden radiaaneina.
Siis:
Vaihda siis GeoGebran asetukseksi, että kulman suuruus ilmoitetaan radiaaneina eikä asteina:
Lisää sitten kulman merkki ja sen suuruus näkyviin radiaaneina. Valitse 'Kulma' -työkalu. Näpäytä pistettä oikealta kyljeltä (kuvassa piste C), kärkipisteestä (kuvassa A) ja vasemmalta kyljeltä (kuvassa B):
Tehtävä 4: Sinin arvon laskeminen ja näyttäminen
Laadi syöttökenttään oma muuttuja nimeltään sininArvo. Se saadaan jakamalla kulman alfa vastaisen kateetin pituus hypotenuusan pituudella. Yksikköympyrässä hypotenuusa on aina yksi, joten se voidaan itse kirjoittaa kaavaan. Murtoluku syntyy "automaagisesti", kun kirjoitat kautta- merkin (/).
Laadi sitten teksti, jossa näytetään sin-funktion arvon laskeminen:
Valitse kreikkalainen kirjain alfa luettelosta:
Muodosta murtoluku LaTeX-kaavalla:
Käytä muuttujina applettisi muuttujia:
Lopputulos näyttää suunnilleen tältä:
Tehtävä 5: Siivoileminen ja muotoileminen
Kuvasta kannattaa poistaa kaikki epäoleellinen.
Poista siis näkyvistä (ei kokonaan järjestelmästä) kohteiden nimiä yms.
Normaali voidaan piilottaa kokonaan.
Sellainen kohde, joka piilotetaan kokonaan, saadaan piilotettua vasemmasta syöttökentästä:
Poista taustaruudukko näkyvistä:
Tässä tapauksessa koordinaatisto lienee syytä jättää näkyviin.
Siivoile loputkin tarpeettomat kohteet piiloon ja piilota joistakin kohteista muuttujien nimet yms.
Lopputulos esim. seuraava:
Tehtävä 6: Sovelluksen tutkiminen
Testaile sovellustasi. Kuvan tapauksessa siirrettäisiin pistettä B.
Miten ympyrä ja trigonometria liittyvät toisiinsa?
Entä miten sini liittyy ääneen?
Tutki ja pohdi näitä kysymyksiä seuraavien applettien avulla:
Tehtävä 7: Sinikuvaajan piirtäminen
Tehtävä 8: Sinikäyrän sovittaminen
Sinikäyrä on funktio, joka perustuu sinin arvoihin. Tee harjoituksen tehtävä.
Etsi esim. tekoälyn avulla lisätietoa sinikäyrästä ja ääniaalloista.
Tehtävä 9: Ääni (soittimen, ihmisen) ei ole puhdas sinikäyrä
Tutki tätä sovellusta. Lisää rasteja yksitellen.
Mieti vielä uudelleen, miten sinikäyrä liittyy ääneen.
Ja palaa miettimään sitä, kuinka ympyrämatematiikka ja trigonometria kuvaavat ääntä.
GeoGebralla voimme tutkia ilmiöitä matemaattisesti ja visuaalisesti.
Tutkittava ilmiö on ääni. Miten ympyrä ja trigonometria liittyvät ääneen?
Oppitunnin sisällöt ja tavoitteet:
- Matemaattisena sisältönä yksikköympyrä
- Matemaattisena tavoitteena on ymmärtää, miten ympyrä, trigonometria ja esimerkiksi ääniaallot liittyvät toisiinsa
- GeoGebrassa on tarjolla paljon valmiita materiaaleja - opetellaan tuottamaan itse samanlaisia ja sillä tavoin pyritään sekä ymmärtämään matemaattista perustaa että käyttämään GeoGebraa
Työskentelyn kuvaus:
- Käytä GeoGebra Classicin verkkoversiota
- Tee harjoitustehtäviä vaihe vaiheelta
- Kysy opettajalta ja kaveriltasi apua; auta kaveriasi ongelmanratkaisussa.
Tehtävä 1: Yksikköympyrän piirtäminen
Piirrä aluksi ympyrä, jonka säteeksi annat arvon yksi ja keskipisteeksi merkitset origon:
Piirrä ympyrä työkalulla 'Ympyrä: Keskipiste ja säde':
Poista myös ympyräviivan nimi. Valitse ympyräviiva ja sen jälkeen valikosta kolme pistettä, jolloin pääset käsiksi viivan asetuksiin:
Vihje: Milloin tahansa annat vääriä komentoja, peru ne Crl+Z -näppäinyhdistelmällä.
Vihje: Jokaisella kohteella on GeoGebrassa asetukset, joita voit tarkentaa ja määritellä erikseen näytön sivussa olevassa näkymässä.
Vihje: Usein tulee tehtyä virhevalintoja sen vuoksi, että jokin työkalu on jäänyt valituksi. Välttääksesi tämän, valitse 'Siirrä tai valitse objekti' -työkalu:
Tehtävä 2: Suorakulmaisen kolmion piirtäminen
Piirrä aluksi x-akselille normaali ja merkitse ympyräviivalle piste suunnilleen kuvan esimerkin mukaisesti:
Tämä normaali ja siihen liittyvä piste ovat avuksi suorakulmaista kolmiota varten. Yksi suorakulmaisen kolmion kyljistä sijoittuu x-akselille.
Piirrä sitten 'Monikulmio' -työkalun avulla suorakulmainen kolmio seuraavaan tapaan:
Varmista, että kaikki pisteet osuvat täsmälleen paikalleen (Tässä kuvassa A origossa, B normaalin ja kehän leikkauspisteessä ja C x-akselilla.
Vihje: Geogebrassa kannattaa piirtää objekteja, jotka auttavat halutun ilmiön toteuttamista. Ne voi piilottaa näkyvistä sitten kun konstruktio on valmis. Tässä tehtävässä normaali on tuollainen apuobjekti.
Tehtävä 3: Kulman merkitseminen radiaaneina
Olemme oppineet, että ympyrän kehän pituus on kaksi kertaa pii kertaa säde.
Yksikköympyrämme säde on yksi, joten ympyrämme kehän pituus on kaksi kertaa pii.
Mutta kaksi kertaa pii on myös luku, joka ilmoittaa täyden kulman suuruuden radiaaneina.
Siis:
Vaihda siis GeoGebran asetukseksi, että kulman suuruus ilmoitetaan radiaaneina eikä asteina:
Lisää sitten kulman merkki ja sen suuruus näkyviin radiaaneina. Valitse 'Kulma' -työkalu. Näpäytä pistettä oikealta kyljeltä (kuvassa piste C), kärkipisteestä (kuvassa A) ja vasemmalta kyljeltä (kuvassa B):
Tehtävä 4: Sinin arvon laskeminen ja näyttäminen
Laadi syöttökenttään oma muuttuja nimeltään sininArvo. Se saadaan jakamalla kulman alfa vastaisen kateetin pituus hypotenuusan pituudella. Yksikköympyrässä hypotenuusa on aina yksi, joten se voidaan itse kirjoittaa kaavaan. Murtoluku syntyy "automaagisesti", kun kirjoitat kautta- merkin (/).
Laadi sitten teksti, jossa näytetään sin-funktion arvon laskeminen:
Valitse kreikkalainen kirjain alfa luettelosta:
Muodosta murtoluku LaTeX-kaavalla:
Käytä muuttujina applettisi muuttujia:
Lopputulos näyttää suunnilleen tältä:
Tehtävä 5: Siivoileminen ja muotoileminen
Kuvasta kannattaa poistaa kaikki epäoleellinen.
Poista siis näkyvistä (ei kokonaan järjestelmästä) kohteiden nimiä yms.
Normaali voidaan piilottaa kokonaan.
Sellainen kohde, joka piilotetaan kokonaan, saadaan piilotettua vasemmasta syöttökentästä:
Poista taustaruudukko näkyvistä:
Tässä tapauksessa koordinaatisto lienee syytä jättää näkyviin.
Siivoile loputkin tarpeettomat kohteet piiloon ja piilota joistakin kohteista muuttujien nimet yms.
Lopputulos esim. seuraava:
Tehtävä 6: Sovelluksen tutkiminen
Testaile sovellustasi. Kuvan tapauksessa siirrettäisiin pistettä B.
Miten ympyrä ja trigonometria liittyvät toisiinsa?
Entä miten sini liittyy ääneen?
Tutki ja pohdi näitä kysymyksiä seuraavien applettien avulla:
Tehtävä 7: Sinikuvaajan piirtäminen
Tehtävä 8: Sinikäyrän sovittaminen
Sinikäyrä on funktio, joka perustuu sinin arvoihin. Tee harjoituksen tehtävä.
Etsi esim. tekoälyn avulla lisätietoa sinikäyrästä ja ääniaalloista.
Tehtävä 9: Ääni (soittimen, ihmisen) ei ole puhdas sinikäyrä
Tutki tätä sovellusta. Lisää rasteja yksitellen.
Mieti vielä uudelleen, miten sinikäyrä liittyy ääneen.
Ja palaa miettimään sitä, kuinka ympyrämatematiikka ja trigonometria kuvaavat ääntä.