Ratkaise epäyhtälö [[$ 2x\leq3x^2 $]]​.

Ratkaisu:
[[$$\begin{align}2x&\leq3x^2&\parallel-3x^2\\-3x^2+2x&\leq0\end{align}$$]]
Ratkaistaan funktion [[$ f(x)=-3x^2+2x $]] nollakohdat.
Nollakohdat ovat [[$ x=0 $]]​ ja [[$ x=\frac{2}{3} $]]​.

Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Vastaus: [[$ x\leq0 $]]​ tai [[$ x\geq\frac{2}{3} $]]​

Ratkaisutapa 2:

Toinen vaihtoehto ratkaista epäyhtälö on jakaa molemmat puolet muuttujalla [[$ x $]]​.
[[$$ 2x\leq3x^2\ \ \parallel:x $$]]​
[[$ x $]]​:llä kertomisessa ja jakamisessa tulee olla hyvin varovainen, koska ei tiedetä, onko [[$ x $]] positiivinen vai negatiivinen. Pitää myös huomioida, että nollalla ei saa jakaa, joten [[$ x $]] ei jaettaessa voi olla nolla eli [[$ x\neq0 $]]!

Jos epäyhtälö jaetaan muuttujalla [[$ x $]], pitää ratkaista erikseen tapaukset, joissa [[$ x $]] on positiivinen ja tapaukset, joissa [[$ x $]] on negatiivinen.

• Jos [[$ x $]] on negatiivinen, epäyhtälömerkin suunta pitää kääntää.
• Jos [[$ x $]] on positiivinen, merkin suunta ei käänny.

[[$ x=0 $]] saattaa myös kuulua vastausjoukkoon, joten pitää erikseen tutkia tapaus, toteuttaako [[$ x=0 $]] epäyhtälön.

Jos [[$ x>0 $]]:
[[$$ \begin{align}2x&\leq3x^2& \parallel:x\\2&\leq3x& \parallel:3\\\frac{2}{3}&\leq x\end{align}$$]]

Yhdistämällä molemmat ehdot [[$ x>0 $]]​ ja [[$ x\geq\frac{2}{3} $]] saadaan [[$ x\geq\frac{2}{3} $]].

Jos [[$ x<0 $]]:
[[$$ \begin{align}2x&\leq3x^2& \parallel:x&&\text{merkki kääntyy!}\\2&\geq3x& \parallel:3\\\frac{2}{3}&\geq x\end{align}$$]]

Yhdistämällä molemmat ehdot [[$ x<0 $]]​ ja [[$ x\leq\frac{2}{3} $]]​ saadaan [[$ x<0 $]].

Jos [[$ x=0 $]]:
[[$$\begin{align}2x&\leq3x^2\\2\cdot0&\leq3\cdot0^2\\0&\leq0&&\text{tosi}\end{align}$$]]

Siten piste [[$ x=0$]] kelpaa ratkaisuksi.

Yhdistetään kaikki vastaukset.

Vastaus: [[$ x\leq0 $]]​ tai [[$ x\geq\frac{2}{3} $]]​