Esimerkki 4
Ratkaise epäyhtälö [[$ 2x\leq3x^2 $]].
Ratkaisu:
[[$$\begin{align}2x&\leq3x^2&\parallel-3x^2\\-3x^2+2x&\leq0\end{align}$$]]
Ratkaistaan funktion [[$ f(x)=-3x^2+2x $]] nollakohdat.
Nollakohdat ovat [[$ x=0 $]] ja [[$ x=\frac{2}{3} $]].
Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Vastaus: [[$ x\leq0 $]] tai [[$ x\geq\frac{2}{3} $]]
Ratkaisutapa 2:Toinen vaihtoehto ratkaista epäyhtälö on jakaa molemmat puolet muuttujalla [[$ x $]].
[[$$ 2x\leq3x^2\ \ \parallel:x
$$]]
[[$ x $]]:llä kertomisessa ja jakamisessa tulee olla hyvin varovainen, koska ei tiedetä, onko [[$ x $]] positiivinen vai negatiivinen. Pitää myös huomioida, että nollalla ei saa jakaa, joten [[$ x $]] ei jaettaessa voi olla nolla eli [[$ x\neq0 $]]!
Jos epäyhtälö jaetaan muuttujalla [[$ x $]], pitää ratkaista erikseen tapaukset, joissa [[$ x $]] on positiivinen ja tapaukset, joissa [[$ x $]] on negatiivinen.
- Jos [[$ x $]] on negatiivinen, epäyhtälömerkin suunta pitää kääntää.
- Jos [[$ x $]] on positiivinen, merkin suunta ei käänny.
Jos [[$ x>0 $]]:
[[$$ \begin{align}2x&\leq3x^2& \parallel:x\\2&\leq3x& \parallel:3\\\frac{2}{3}&\leq x\end{align}$$]]
Yhdistämällä molemmat ehdot [[$ x>0 $]] ja [[$ x\geq\frac{2}{3} $]] saadaan [[$ x\geq\frac{2}{3} $]].
Jos [[$ x<0 $]]:
[[$$ \begin{align}2x&\leq3x^2& \parallel:x&&\text{merkki kääntyy!}\\2&\geq3x& \parallel:3\\\frac{2}{3}&\geq x\end{align}$$]]
Yhdistämällä molemmat ehdot [[$ x<0 $]] ja [[$ x\leq\frac{2}{3} $]] saadaan [[$ x<0 $]].
Jos [[$ x=0 $]]:
[[$$\begin{align}2x&\leq3x^2\\2\cdot0&\leq3\cdot0^2\\0&\leq0&&\text{tosi}\end{align}$$]]
Siten piste [[$ x=0$]] kelpaa ratkaisuksi.
Yhdistetään kaikki vastaukset.
Vastaus: [[$ x\leq0 $]] tai [[$ x\geq\frac{2}{3} $]]