Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen graafisesti

Epäyhtälön voi ratkaista myös graafisesti, mikäli tehtävässä niin pyydetään.
Graafisella tarkastelulla voi myös tarkistaa algebrallisesti saadun vastauksen paikkansapitävyyden.

Toisen asteen epäyhtälön [[$ f(x)>g(x) $]]​ ratkaiseminen graafisesti

  1. Piirretään funktioiden [[$ f(x) $]] ja [[$ g(x) $]] kuvaajat samaan koordinaatistoon
  2. Jos kuvasta ei yksiselitteisesti selviä funktioiden [[$ f(x) $]] ja [[$ g(x) $]] kuvaajien leikkauspisteet, ne lasketaan. Merkitään [[$ f(x)=g(x) $]] ja ratkaistaan [[$ x $]]
  3. Katsotaan kuvasta, milloin [[$ f(x)>g(x) $]]​. Epäyhtälö toteutuu niillä muuttujan [[$ x $]] arvoilla, joilla [[$ f(x) $]]:n kuvaaja on [[$ g(x) $]]:n kuvaajan yläpuolella

Jos epäyhtälö on muotoa [[$ f(x) \geq g(x) $]], ratkaisuun otetaan mukaan myös funktioiden [[$ f(x) $]] ja [[$ g(x) $]] kuvaajien leikkauspisteiden [[$ x $]]-koordinaatit.

Jos epäyhtälö on muotoa [[$ f(x) \neq g(x) $]], se toteutuu kaikilla muilla muuttujan [[$ x $]] arvoilla paitsi funktioiden [[$ f(x) $]] ja [[$ g(x) $]] kuvaajien leikkauspisteissä.

Esimerkki 5

Ratkaise [[$ -3x^2+3>x^2+7x+1 $]]​.

Ratkaisu:

Kuvaajasta tarkastellaan, milloin [[$ -3x^2+3 $]] on suurempi kuin [[$ x^2+7x+1 $]] eli millä muuttujan [[$ x $]] arvoilla sininen paraabeli on ylempänä kuin vihreä paraabeli. Paraabelien leikkauskohtia ei näe tarkasti kuvaajasta, joten ne kannattaa laskea.

[[$ \begin{align}-3x^2+3&=x^2+7x+1 \ & ∥-x^2-7x-1\\-x^2-7x+2&=0\end{align} $]]

Leikkauskohdat ovat [[$ x=-2 $]] ja [[$ x=\frac{1}{4} $]].
Epäyhtälö toteutuu näiden pisteiden välissä, koska silloin sininen paraabeli on vihreän paraabelin yläpuolella.

Vastaus: [[$ -2<x<\frac{1}{4} $]]​