Ratkaise murtoepäyhtälö [[$ \dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}\geq0$]].

Ratkaisu:
[[$ \dfrac{x^2-2x-3}{x^2-1}\geq0$]]

Määrittelyehdot:

[[$ \begin{align}x^2-1& \neq 0& \parallel&+1\\x^2& \neq 1& \parallel& \sqrt{}\\x& \neq \pm1 \end{align} $]]

Ratkaistaan osoittajan nollakohdat.
[[$x^2-2x-3=0$]], kun [[$x=-1$]] ja [[$x=3$]].

Nyt on huomattava, että osoittajalla ja nimittäjällä on sama nollakohta [[$x=-1$]].

Osoittaja voidaan ilmoittaa tulomuodossa [[$(x+1)(x-3)$]] ja nimittäjä [[$(x+1)(x-1)$]], jolloin epäyhtälö saadaan muotoon
[[$$ \begin{align}\frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-1)}& \geq0& \text{supistetaan}\ x+1\ \text{pois}\\ \frac{x-3}{x-1}& \geq0 \end{align} $$]]

Nyt nimittäjän nollakohta on [[$x=1$]] eli määrittelyehto supistuu muotoon [[$x \neq 1$]].

• Osoittajan [[$x-3$]] kuvaaja on nouseva suora.

  ---

• Nimittäjän [[$x-1$]] kuvaaja on nouseva suora.

  ---

Laaditaan merkkikaavio.

Huomioidaan määrittelyehto [[$x \neq 1$]]. Epäyhtälö toteutuu, kun [[$x<1$]] tai [[$x\geq3$]].

Vastaus: [[$x<1$]] tai [[$x\geq3$]]

Tarkistetaan vastaus kuvaajasta.

Funktion kuvaaja lähestyy asymptoottia [[$x=1$]], mutta ei kosketa sitä. Kuvaaja on [[$x$]]-akselin yläpuolella, kun [[$x<1$]] tai [[$x>3$]], joten vastaus on oikein.