1.3 Muistikaavat
Muistikaavat
Muistikaavat
[[$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+a^{2}$]]
[[$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$]]
[[$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$]]
Esimerkki 1
[[$(x+3)^{2}=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}+\underbrace{2\cdot x\cdot3}_{2ab}+\underbrace{3^{2}}_{b^{2}}=x^{2}+6 x+9$]].[[$(x-3)^{2}=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{2\cdot x\cdot3}_{2ab}+\underbrace{3^{2}}_{b^{2}}=x^{2}-6 x+9$]].
[[$(x+3)(x-3)=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{3^{2}}_{b^{2}}=x^{2}-9$]]
[[$(2x+5)^{2}=2^{2}x^{2}+2\cdot2x\cdot5+5^{2}=4x^{2}+20x+25$]]
[[$a$]] ja [[$b$]] voivat olla myös muita kuin monomeja. Ne voivat olla esimerkiksi hyvinkin pitkiä lausekkeita.
Esimerkki 2
Lasketaan polynomien [[$x^{2}+4$]] ja [[$2y^{2}-y$]] summan ja erotuksen tulo:[[$\begin{align}(\underbrace{x^{2}+4}_{a}+\underbrace{2y^{2}-y}_{b})(\underbrace{x^{2}+4}_{a}\underbrace{-2y^{2}+y}_{-b})&=(\underbrace{x^{2}+4)^{2}}_{=(a+b)^{2}}-\underbrace{(2y^{2}-y)^{2}}_{=(a-b)^{2}}\\&=x^{2\cdot2}+2x^{2}\cdot4+4^{2}-(2^{2}y^{2\cdot2}-2\cdot2y^{2}y+y^{2})\\&=x^{4}+8x^{2}+16-(4y^{4}-4y^{3}+y^{2})\\&=x^{4}+8x^{2}+16-4y^{4}+4y^{3}-y^{2}\\\end{align}$]]
Muistikaavojen johtaminen
Johdetaan seuraavaksi muistikaavat eli katsotaan, mistä ne tulevat.
Käydään ensimmäisenä läpi polynomien summan neliö:
Kirjoitetaan aluksi neliö kertolaskun avulla ja lasketaan sulut auki ja sievennellään:
[[$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a\cdot a+a\cdot b+\underbrace{b\cdot a}_{=a\cdot b}+b\cdot b=a^{2}+2ab+b^{2}$]]
Polynomien erotuksen neliö saadaan samalla tavalla kuin summan neliö:
[[$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a\cdot a-a\cdot b-\underbrace{b\cdot a}_{=a\cdot b}+b\cdot b=a^{2}-2ab+b^{2}$]]
Polynomien summan ja erotuksen tulon kaava saadaan johdettua purkamalla sulut auki, jolloin saadaan:
[[$(a+b)(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+\underbrace{b\cdot a}_{=a\cdot b}-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$]]
