Esimerkki 4
Petra tallettaa säästötilille joka vuoden alussa 1000 €. Vuoden lopussa korkoa maksetaan 0,9 %. Kuinka paljon Petralla on rahaa tilillä 4. vuoden lopussa, jos tililtä ei nosteta mitään?
Ratkaisu:
i)
ii)
Muodostetaan geometrinen jono.
iii)
Muodostetaan geometrinen summa [[$ (\text{1,009}^4+\text{1,009}^3+\text{1,009}^2+\text{1,009}) $]]:sta.
[[$ \begin{align}q&=\text{1,009}\\a_1&=\text{1,009}\\a_2&=\text{1,009} \cdot \text{1,009}=\text{1,009}^2\\n&=4\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\&=\frac{\text{1,009}(1-\text{1,009}^4)}{1-\text{1,009}}\\&=\text{4,09081}\end{align} $]]
Tällöin [[$ 1000 \,€ \cdot \text{4,09081}=\text{4090,81}\,€ $]]
Vastaus: Neljännen vuoden lopussa tilillä on rahaa 4090,81 €
Ratkaisu:
i)
| 1. vuoden alussa | [[$1000 \, €$]] |
| 1. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} =1009 \text{ €} $]] |
| 2. vuoden alussa | [[$1009 \text{ €} + 1000 \text{ €} = 2009 \text{ €} $]] |
| 2. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot 2009 \text{ €} = \text{2027,08 €} $]] |
| 3. vuoden alussa | [[$\text{2027,08 €} + 1000 \text{ €} = \text{3027,08 €}$]] |
| 3. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot \text{3027,08 €} =\text{3054,32 €} $]] |
| 4. vuoden alussa | [[$\text{3054,32 €} + 1000 \text{ €} = \text{4054,32 €}$]] |
| 4. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot \text{4054,32 €} = \text{4090,81 €} $]] |
Muodostetaan geometrinen jono.
| 1. vuoden alussa | [[$\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} $]] |
| 2. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot (\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} +1000 \text{ €})$]] [[$= \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] |
| 3. vuoden lopussa | [[$\text{1,009} \cdot (\text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} +\text{1,009} \cdot 1000 \text{ €} +1000 \text{ €})$]] [[$=\text{1,009}^3 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] |
| 4. vuoden lopussa | [[$\text{1,009}^4 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^3 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009}^2 \cdot 1000 \text{ €} + \text{1,009} \cdot 1000 \text{ €}$]] [[$ = 1000 \text{ €} \cdot (\text{1,009}^4 +\text{1,009}^3 + \text{1,009}^2 +\text{1,009}) $]] [[$=\text{4090,81 €}$]] |
Muodostetaan geometrinen summa [[$ (\text{1,009}^4+\text{1,009}^3+\text{1,009}^2+\text{1,009}) $]]:sta.
[[$ \begin{align}q&=\text{1,009}\\a_1&=\text{1,009}\\a_2&=\text{1,009} \cdot \text{1,009}=\text{1,009}^2\\n&=4\\S_n&=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\&=\frac{\text{1,009}(1-\text{1,009}^4)}{1-\text{1,009}}\\&=\text{4,09081}\end{align} $]]
Tällöin [[$ 1000 \,€ \cdot \text{4,09081}=\text{4090,81}\,€ $]]
Vastaus: Neljännen vuoden lopussa tilillä on rahaa 4090,81 €