2.1 Hiukkanen sähkö- ja magneettikentässä
Sähkökenttä ja sähköinen voima
Sähköinen ja magneettinen vuorovaikutus ovat etävuorovaikutuksia, joita mallinnetaan kenttien avulla. Magneettikentässä kenttäviivojen suunta ilmaisee, mihin asentoon alkeismagneetti tai esim. kompassineula pyrkii kentässä kääntymään. Sähkökentässä kenttäviivat ilmaisevat, mihin suuntaan kenttä yrittää siirtää varauksia. Tämä perustavaa laatua oleva ero johtuu siitä, että yksittäisiä plus- ja miinusmerkkisiä sähkövarauksia on olemassa, mutta magneeteissa on aina pohjois- ja etelänapa samassa kappaleessa.
Sähkökentän suunnan on sovittu olevan poispäin positiivisesta varauksesta kohti negatiivista varausta. Sähkökentän suuruus määritellään sähköisen voiman ja varauksen suuruuden suhteena.
[[$\quad E=\dfrac{F}{Q}$]]
Vastaavasti, jos sähkökentän voimakkuus tunnetaan, voidaan sen avulla laskea sähkövaraukselliseen hiukkaseen kohdistuva sähköinen voima.
Hiukkanen sähkökentässä
Sähkövaraukselliseen hiukkaseen kohdistuu sähkökentässä voima, jonka suuruus on [[$F=QE$]], missä [[$E$]] on sähkökentän voimakkuus pisteessä, jossa varaus [[$Q$]] sijaitsee.
Positiiviseen sähkövaraukseen kohdistuva voima on sähkökentän suuntainen ja negatiiviseen päinvastainen.
Sähkövarauksen siirtäminen sähköistä voimaa vastaan vaatii työtä. Tämä työ varastoituu sähkövarauksen sähköiseksi potentiaalienergiaksi, [[$E_\text{sp}$]]. Jos taas sähkövaraus päästetään liikkumaan sähkökentässä vapaasti, sen sähköinen potentiaalienergia muuntuu liike-energiaksi.
Sähköisen potentiaalienergian muutos on suoraan verrannollinen hiukkasen sähkövaraukseen. Siksi sen avulla voidaan määritellä varauksesta riippumaton, kenttää kuvaava ominaisuus: kahden pisteen välinen jännite [[$U$]]. Kenttää kuvaavan jännitteen ja kentässä siirtyvän varauksen [[$Q$]] tulo on yhtä suuri kuin varauksen sähköisen potentiaalienergian muutos.
[[$\quad \Delta E_{sp}=QU$]]
Homogeeninen sähkökenttä on joka pisteessä yhtä voimakas ja samansuuntainen. Sähkökentän voimakkuus [[$E$]] on siis kaikkialla vakio. Koska sähkökenttä on vakio, myös varaukseen kohdistuva sähköinen voima [[$F=QE$]] on vakio. Homogeeninen sähkökenttä muodostuu esimerkiksi kahden vastakkaismerkkisesti varatun yhdensuuntaisen johdinlevyn väliin. Levyjen ulkopuolella kenttä ei ole homogeeninen.
Homogeeninen sähkökentässä tapahtuva liike on matemaattisesti helpommin mallinnettavissa kuin muunlaisessa sähkökentässä tapahtuva liike. Homogeenisessa sähkökentässä jännite on sähkökentän voimakkuuden [[$E$]] ja kentän suuntaisen siirtymän [[$d$]] tulo.
[[$\quad U=Ed$]]
Hiukkasen energia sähkökentässä
Varatun hiukkasen siirtyessä jännitteen [[$U$]] yli sen sähköisen potentiaalienergian muutos on
[[$\quad \Delta E_\text{sp}=QU$]].
Suunnasta riippuen joko joudutaan tekemään tämän verran työtä tai tämän verran liike-energiaa vapautuu.
Homogeenisessa sähkökentässä etäisyydellä d toisistaan olevien pisteiden välinen jännite on
[[$\quad U=Ed$]].
Varattu hiukkanen magneettikentässä
Sähkövirta on varauksen liikettä. Virtajohtimeen kohdistuva magneettinen voima voidaan ymmärtää siinä liikkuviin elektroneihin kohdistuvan voiman yhteisvaikutuksena. Sähkövirta tarkoittaa johtimen läpi kulkevaa sähkövarausta ajan suhteen, mikä ilmaistaan kaavalla.
[[$ \quad I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t} $]]
Tämän perusteella virtajohtimen [[$ l $]]:n pituista osaa voidaan ajatella johtimen suunnassa liikkuvana sähkövarauksena [[$ Q $]]. Varaus etenee ajassa [[$ \Delta t $]] pituutensa [[$ l $]] verran. Johtimeen kohdistuvan magneettisen voiman kaavan perusteella voidaan nyt johtaa liikkuvaan varattuun kappaleeseen kohdistuvalle voimalle seuraava lauseke.
[[$ \quad F=IlB=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}lB=\Delta Q\dfrac{l}{\Delta t}B=QvB $]]
Kaava kuvaa tilannetta, jossa liike tapahtuu kohtisuoraan magneettikentän suuntaan nähden. Vinossa tilanteessa voiman suuruus määrittyy nopeudelle kohtisuoran kenttäkomponentin perusteella, samoin kuin virtajohtimeen kohdistuvan voiman tapauksessa. Voiman suunnan ilmaisee oikean käden sääntö, kun varaus on positiivinen. Sääntö on vastaava kuin virtajohtimeen kohdistuvalle voimalle. Hiukkasen nopeuden suunta vastaa sähkövirran suuntaa johtimen oikean käden säännössä. Negatiivisesti varattuun hiukkaseen kohdistuva voima lasketaan käyttämällä sen varauksen [[$Q$]] itseisarvoa, mutta voiman suunta on oikean käden säännölle vastakkainen. Kaavaa [[$F=QvB$]] käytetään, kun mallinnetaan yksittäisen varatun hiukkasen liikettä.
Magneettikentässä liikkuvaan varattuun hiukkaseen kohdistuva voima
Kun sähköisesti varattu hiukkanen liikkuu magneettikentässä, siihen kohdistuu magneettinen voima, jonka suuruus noudattaa kaavaa
[[$ \quad F=QvB \sin \alpha $]].
- [[$ Q $]] on hiukkasen sähkövaraus, [[$ v $]] hiukkasen nopeus,[[$ B $]] magneettivuon tiheys ja [[$ \alpha $]] nopeuden ja magneettivuon tiheyden välinen kulma.
- Positiivisesti varattuun hiukkaseen kohdistuvan voiman suunta on oikean käden säännön mukainen, negatiivisesti varattuun vastakkainen. Voima on kohtisuora nopeudelle ja magneettikentälle.
- Mikäli nopeuden ja magneettikentän välinen kulma on suora, voima lasketaan kaavalla [[$ F=QvB $]].
Varauksellinen hiukkanen magneettikentässä
Magneettikentässä liikkuvaan varaukselliseen hiukkaseen vaikuttaa voima [[$ F=QvB\sin\alpha $]]. Kun hiukkaseen vaikuttavan voiman suuruus tunnetaan, voidaan ennustaa hiukkasen rata magneettikentässä mekaniikan peruslakien avulla.
Videolla sähkökenttä kiihdyttää elektroneja. Elektronien liike nähdään valojuovana, kun ne osuvat taustalevyn fluoresoivaan pintaan.
Sauvamagneetti luo magneettikentän, jossa elektronit liikkuvat. Magneettikentässä liikkuviin varauksiin kohdistuu voima, joka on kohtisuorassa niiden etenemissuuntaan nähden. Magneettinen voima kääntää elektronien liikkeen suuntaa, kun sauvamagneetti suunnataan kohtisuorasti niiden liikerataan nähden. Sauvamagneetin kentän suunta vaikuttaa elektroneihin kohdistuvan voiman suuntaan, joten elektronien rata voi kääntyä joko ylös- tai alaspäin.
Tarkastellaan tilannetta, jossa varauksellinen hiukkanen saapuu homogeeniseen magneettikenttään siten, että nopeus on kohtisuorassa magneettivuon tiheyttä vastaan ([[$ \bar{v} \perp \bar{B} $]]). Oikean käden säännön perusteella hiukkaseen kohdistuva magneettinen voima on kohtisuorassa sekä nopeutta että magneettivuontiheyttä vastaan ([[$ \bar{F}\perp\bar{v}\perp\bar{B} $]]).
Koska hiukkaseen kohdistuva voima ja sen nopeus ovat kohtisuorassa, hiukkasen nopeuden suuruus ei muutu, vaan ainoastaan nopeuden suunta. Magneettisen voiman suunta muuttuu hiukkasen nopeuden suunnan muuttuessa. Tämän seurauksena hiukkanen ajautuu tasaiseen ympyräliikkeeseen.
Simulaatio: kaksi hiukkasta homogeenisessa magneettikentässä
Koska voima ja nopeus ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, voima ei tee työtä. Tällöin varauksellisen hiukkasen liike-energia ei muutu magneettikentässä, ja sen vauhti pysyy vakiona.
Homogeenisessa magneettikentässä liikkuvan varatun hiukkasen liikeyhtälö
Kun sähköisesti varattu hiukkanen liikkuu kohtisuorasti homogeenisessa magneettikentässä, magneettinen voima pakottaa sen tasaiseen ympyräliikkeeseen.
Newtonin II lain mukaan voidaan kirjoittaa
[[$ \begin{align} \quad \sum \overline{F}&=m\overline{a}_n \\ \,\\ \overline{F}_m&=m\overline{a}_n \\ \,\\ QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \end{align} $]]- [[$ Q $]] on hiukkasen sähkövaraus, [[$ v $]] hiukkasen nopeus,[[$ B $]] magneettivuon tiheys ja [[$ r $]] hiukkasen ympyräradan säde.
- Voiman suunta on oikean käden säännön mukaisesti kohtisuora nopeudelle ja magneettikentälle.
Esimerkkitilanne: Hiukkasen rata erilaisissa magneetti- ja sähkökentissä
Tilanne 1
Elektroni liikkuu sähkökentän suuntaisesti: Elektroniin vaikuttaa sähkökentässä sähköinen voima, jonka suuruus on [[$F_s=QE,$]] ja sen suunta on sähkökentän suunnalle vastakkainen. Voiman suunta on yhdensuuntainen elektronin liikesuunnalle.
Tilanne 2
Elektroni liikkuu sähkökenttää vastaan kohtisuorasti: Elektroniin vaikuttaa sähkökentässä sähköinen voima, jonka suuruus on [[$F_s=QE$]], ja sen suunta on sähkökentän suunnalle vastakkainen. Voiman suunta on kohtisuorassa elektronin liikesuuntaa vastaan. Voiman suunta ei muutu. Rata on muodoltaan paraabeli.
Tilanne 3
Elektroni liikkuu magneettikentän suuntaisesti: Elektroniin ei kohdistu magneettikentässä magneettista voimaa. Elektroni liikkuu suoraviivaisesti suuntaansa muuttamatta.
Tilanne 4
Elektroni liikkuu magneettikenttää vastaan kohtisuorasti: Elektroniin vaikuttaa magneettikentässä magneettinen voima, jonka suuruus on [[$F_m=QvB$]], ja sen suunta on kohtisuorassa magneettivuon tiheyttä ja elektronin liikesuuntaa vastaan. Voiman suunta muuttuu elektronin suunnan muuttuessa siten, että ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Magneettinen voima pakottaa elektronin tasaiseen liikkeeseen ympyräradalle.
Pysähdy pohtimaan
Esimerkkejä
Esimerkki 1
1,5 kV jännitteellä kiihdytetty elektronisuihku saapuu homogeeniseen sähkökenttään, jonka voimakkuus on 22 000 N/C. Alla video tilanteesta.
- Jos elektronit lähtevät levosta, mikä on elektronien nopeus niiden saapuessa sähkökenttään?
- Kuinka suuri sähköinen voima elektroneihin kohdistuu sähkökentässä?
- Kuinka syvälle elektronit pääsevät sähkökentässä?
Esimerkki 2
Kosmisella säteilyllä tarkoitetaan Maahan ulkoavaruudesta tulevia suurienergisiä hiukkasia. Hiukkasista n. 90 % on protoneja, 9 % alfahiukkasia ja 1 % beetahiukkasia ja raskaampien atomien ytimiä.
Maapallon magneettikenttään tulee kosmisen säteilyn alfahiukkasia, joiden kineettinen energia on n. 80 fJ, kohtisuorasti Maan kenttäviivoja vastaan. Laske alfahiukkasten radan säde, kun Maan magneettikentän magneettivuon tiheys tuolla etäisyydellä on n. 0,10 μT.
Esimerkki 3
Alfahiukkasia (He2+) kiihdytetään tyhjiössä van de Graaffin kiihdyttimellä. Jännitteellä 2,1 MV kiihdytetty alfahiukkassuihku osuu kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään, jossa sen suunta muuttuu 90° siten, että hiukkasten ratakäyrän säde on 1,0 m. Kuinka suuri on magneettikentän magneettivuon tiheys?
(Ylioppilaskoe K2004)