Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
1,5 kV jännitteellä kiihdytetty elektronisuihku saapuu homogeeniseen sähkökenttään, jonka voimakkuus on 22 000 N/C. Alla video tilanteesta.
- Jos elektronit lähtevät levosta, mikä on elektronien nopeus niiden saapuessa sähkökenttään?
- Kuinka suuri sähköinen voima elektroneihin kohdistuu sähkökentässä?
- Kuinka syvälle elektronit pääsevät sähkökentässä?
Ratkaisu
a. Sovelletaan työperiaatetta sähkökentässä.
[[$ \begin{align}
W&=\Delta E_k \\\, \\
qU&=\dfrac{1}{2}mv^2-0 \quad &&||\cdot 2 \\\, \\
\quad 2qU&=mv^2 &&||:m \\\, \\
v^2&=\dfrac{2qU}{m} &&||\sqrt{} \\\, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}} \\\, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C}\cdot 1500 \text{ V}}{9,1094 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} \\\, \\
v&=22 \ 970 \ 693,3 \ldots \text{ m/s} \approx 23 \text{ Mm/s}
\end{align} $]]
Elektronien nopeus on n. 23 Mm/s.
b. Elektroneihin kohdistuu sähkökentässä voima, jonka suunta on sähkökentän suunnalle vastakkainen ja jonka suuruus on:
[[$ \begin{align}
\quad F&=qE \\\, \\
F&=1,6022\cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 22 \ 000 \text{ N/C} \\\, \\
F&=3,524 \ldots \cdot 10^{-15} \text{ N} \approx 3,5 \text{ fN}
\end{align} $]]
Elektroneihin kohdistuu n. 3,5 fN:n voima sähkökentässä.
c. Sovelletaan työperiaatetta sähkökentässä ja lasketaan, kuinka pitkän matkan sähköisen voiman pitää vaikuttaa siten, että elektronit ovat levossa.
[[$ \begin{align}
W&=\Delta E_k \\\, \\
\quad qEd&=1/2mv^2-0 \quad &&||:qE \\\, \\
d&=\dfrac{mv^2}{2qE} \\\, \\
d&=\dfrac{9,1094 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot (22 \ 970\ 693 \text{ m/s})^2}{2\cdot 1,6022\cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 22 \ 000 \text{ N/C}} \\\, \\
d&=0,0681\ldots \text{ m} \approx 6,8 \text{ cm}
\end{align} $]]
Elektronit pääsevät sähkökentässä n. 6,8 cm:n syvyydelle.
Takaisin
Esimerkin 2 ratkaisu
Kosmisella säteilyllä tarkoitetaan Maahan ulkoavaruudesta tulevia suurienergisiä hiukkasia. Hiukkasista n. 90 % on protoneja, 9 % alfahiukkasia ja 1 % beetahiukkasia ja raskaampien atomien ytimiä.
Maapallon magneettikenttään tulee kosmisen säteilyn alfahiukkasia, joiden kineettinen energia on noin 80 fJ, kohtisuorasti Maan kenttäviivoja vastaan. Laske alfahiukkasten radan säde, kun Maan magneettikentän magneettivuon tiheys tuolla etäisyydellä on n. 0,10 μT.
Ratkaisu
Piirretään kuva tilanteesta.
Ratkaistaan ensin alfahiukkasten nopeus niiden saapuessa Maan magneettikenttään.
[[$ \begin{align}
E_k&=\dfrac{1}{2}mv^2 \\ \, \\
\quad 2E_k&=mv^2 \\ \, \\
v^2&=\dfrac{2E_k}{m} \\ \, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2E_k}{m}} \\ \, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2\cdot 80 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{6,645 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} \\ \, \\
v&=4 \ 907 \ 329,0 \ldots \text{ m/s}
\end{align} $]]
Oletetaan, että magneettikenttä alfahiukkasen ympäristössä on homogeeninen. Positiivinen alfahiukkanen joutuu tasaiseen ympyräliikkeeseen. Newtonin II lain avulla saadaan ratkaistua ympyräradan säde.
[[$ \begin{align}
\sum \overline{F}&=m\overline{a}_n \\ \, \\
F_m&=ma_n \\ \, \\
\quad QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \quad &&||:v \\ \, \\
QB&=m\dfrac{v}{r} &&||\cdot r \\ \, \\
QBr&=mv &&||:QB \\ \, \\
r&=\dfrac{mv}{QB} \\ \, \\
r&=\dfrac{6,645 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 4 \ 907 \ 329 \text{ m/s} }{2 \cdot 1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0,10 \cdot 10^{-6} \text{ T}} \\ \, \\
r&=1 \ 017 \ 485,1 \ldots \text{ m} \approx 1,0 \text{ Mm}
\end{align} $]]
Alfahiukkasten radan säde on n. 1 Mm.
Esimerkin 3 ratkaisu
Alfahiukkasia (He2+) kiihdytetään tyhjiössä van de Graaffin kiihdyttimellä. Jännitteellä 2,1 MV kiihdytetty alfahiukkassuihku osuu kohtisuorasti homogeeniseen magneettikenttään, jossa sen suunta muuttuu 90° siten, että hiukkasten ratakäyrän säde on 1,0 m. Kuinka suuri on magneettikentän magneettivuon tiheys?
(Ylioppilaskoe K2004)
Ratkaisu
Piirretään kuva tilanteesta.
Työperiaatteen mukaan kiihdyttävän sähkökentän tekemä työ on yhtä suuri kuin alfahiukkasen liike-energian muutos. Oletetaan, että alfahiukkaset lähtevät levosta, jolloin niiden liike-energia aluksi on 0.
[[$ \begin{align}
W&=\Delta E_k \\ \, \\
\quad qU&=\dfrac{1}{2}mv^2-0 \\ \, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2qU}{m}} \\ \, \\
v&=\sqrt{\dfrac{2\cdot 2 \cdot 1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 2,1 \cdot 10^6 \text{ V}}{6,645 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}} \\ \, \\
v&=14 \ 231 \ 494.6 \ldots \text{ m/s}
\end{align} $]]
Kiihdyttävän sähkökentän jälkeen alfahiukkanen saapuu tällä nopeudella magneettikenttään.
Alfahiukkaset tulevat kohtisuorasti magneettikenttään, jossa ne joutuvat tasaiseen ympyräliikkeeseen. Newtonin II lain avulla saadaan ratkaistua magneettikentän magneettivuon tiheys.
[[$ \begin{align}
\sum \overline{F}&=m\overline{a}_n \\ \, \\
F_m&=ma_n \\ \, \\
\quad QvB&=m\dfrac{v^2}{r} \quad &&||:v \\ \, \\
QB&=\dfrac{mv}{r} &&||:Q \\ \, \\
B&=\dfrac{mv}{Qr} \\ \, \\
B&=\dfrac{6,645 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot 14 \ 231 \ 495 \text{ m/s} }{2 \cdot 1,6022 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 1,0 \text{ m}} \\ \, \\
B&=0,295 \ldots \text{ T} \approx 0,30 \text{ T}
\end{align}
$]]
Magneettivuon tiheys on n. 0,30 T.