5. Polynomin jakaminen tekijöihin

Polynomin tekijöihinjako

2. asteen polynomin jakaminen tekijöihin

- voidaan jakaa tekijöihin

1. Yhteisen tekijön avulla (kun vakiotermi c = 0)

$-x^2+3x=x\left(-x+3\right)$

2. Muistikaavojen avulla

$x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ \ \left(summan\ ja\ erotuksen\ tulo\right)$

$x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2\ \ \left(bino\min\ neliö\right)$

3. Nollakohtien avulla

Tekijälause: Polynomilla p(x) on tekijä x - a silloin ja vain silloin kun polynomin nollakohta on x = a eli p(a) = 0

esimerkiksi polynomin

$p\left(x\right)=x^2-9\ nollakohdat\ saadaan\ ratkaisemalla\ yhtälö\ x^2-9=0\ \ joko$

a) perinteisesti

$x^2=9\ \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm3\ \$
eli kun nollakohta on x = 3 ⇒ tekijänä on x - 3 ja kun nollakohta on x = - 3 ⇒ tekijänä on x + 3

b) tulon nollasäännöllä jakamalla p(x) tekijöihin summan ja erotuksen tulon avulla

$x^2-9=\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$

$x-3=0\ \ \Leftrightarrow\ x=3\ \ tai\ \ x+3=0\ \ \Leftrightarrow x=-3$

Olkoon 2. asteen polynomin

$p\left(x\right)=ax^2+bx+c\ nollakohdat\ \left(eli\ yhtälön\ ax^2+bx+c=0\ ratkaisut\right)\ x=x_1\ \ ja\ x=x_2$

Nyt polynomin tekijät ovat

$x-x_1\ \ ja\ x-x_2\ sekä\ koko\ polynomi\ jaettuna\ tekijöihin$
$ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Esimerkki: Jaa polynomi p(x) tekijöihin, kun

$p\left(x\right)=2x^2+3x+1$

Kyseessä on täydellinen 2.asteen polynomi (kaikki eriasteiset termit ovat mukana) niin nyt polynomi joudutaan jakamaan tekijöihin nollakohtien avulla (binomin neliö ei toimi tässä)

$2x^2+3x+1=0$

$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot1}}{4}=\frac{-3\pm1}{4}$
$x=-\frac{1}{2}\ \ tai\ x=-1\ \ \Rightarrow\ tekijät\ x-\left(-\frac{1}{2}\right)=x+\frac{1}{2}\ \ ja\ x-\left(-1\right)=x+1$
$nyt\ koko\ polynomi\ tulomuodossa$
$p\left(x\right)=2x^2+3x+1=2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)=\left(2x+1\right)\left(x+1\right)$

4. Ryhmittelemällä

- koskee korkeamman asteen polynomeja

Määritä vakio a siten, että polynomin p(x) tekijänä on x + 3, kun

$p\left(x\right)=x^2+2x+a$

Mikä on polynomin toinen tekijä?

tekijänä on x + 3 ⇒ nollakohtana on x = -3 eli p(-3) = 0

$\left(-3\right)^2+2\cdot\left(-3\right)+a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-3$

$eli\ p\left(x\right)=x^2+2x-3=\left(x+3\right)\left(x-1\right)$

Nyt toinen tekijä x - 1 voidaan päätellä ihan polynomin kertolaskun avulla, koska on tiedossa, että yksi tekijä on varmuudella x + 3

polynomin toinen nollakohta on nyt x=1 (saadaan, kun x - 1 = 0)

Huom! Nollakohdat tai toinen nollakohta saadaan yhtälöstä

$p\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$

tulon nollasäännön mukaan (x + 3 = 0) tai x - 1 = 0 eli (x = -3) tai x = 1

Muodosta polynomin lauseke, kun tiedetään, että polynomin nollakohdat ovat x = -1, x = 0 ja x = 2 sekä kuvaaja kulkee pisteen (1, -2) kautta.

Nollakohtien avulla saadaan tekijät

Nollakohta x = -1 ⇒ tekijä x + 1

nollakohta x = 0 ⇒ tekijä x - 0 = x

nollakohta x =2 ⇒ tekijä x - 2

Polynomi on näiden tekijöiden tulo

$p\left(x\right)=a\cdot x\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

$vakio\ a\ saadaan\ selville\ kun\ tie\detään{,}\ että\ p\left(1\right)=-2\ \left(kulkee\ \left(1{,}-2\right)\ kautta\right)$
$a\cdot1\cdot2\cdot\left(-1\right)=-2\ \ \left(a\cdot1\cdot\left(1+1\right)\left(1-2\right)=-2\right)$
$-2a=-2\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1$

$joten\ p\left(x\right)=x\left(x+1\right)\left(x-2\right)=x\left(x^2-2x+x-2\right)=x\left(x^2-x-2\right)=x^3-x^2-2x$

Ratkaise epäyhtälö

$a.\ \ \left(x+3\right)\left(2x-1\right)<0$

$b.\ \ x^3-3x\ge3x^2-9$

Muokataan perusmuotoon p(x) ≥ 0 siirtämällä termit samalle puolelle

$x^3-3x^2-3x+9\ge0$

Jaetaan tekijöihin ryhmittelemällä

$x^3-3x^2=x^2\left(x-3\right)\ \ ja\ -3x+9=-3\left(x-3\right)$

$x^2\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)=\left(x-3\right)\left(x^2-3\right)=0$
$x-3=0\ \ tai\ x^2-3=0$
$x=3\ \ tai\ x^2=3\ \ \ \Leftrightarrow\ x=\pm\sqrt{3}$
$eli\ nollakohdat\ ovat\ x=3{,}\ x=\sqrt{3}\ ja\ x=-\sqrt{3}$

laaditaan merkkikaavio, josta nähdään epäyhtälön p(x) ≥ 0 ratkaisut

$\begin{array}{l|l} \ -&-\sqrt{3}\ \ +\ \ \ \ &\sqrt{3}\ -\ \ \ &3\ \ +\ \ \ \ \\ \hline &&& \end{array}$

$eli\ p\left(x\right)\ge0{,}\ kun\ -\sqrt{3}\le x\le\sqrt{3}\ \ \ tai\ x\ge3$